Seja T: R^3 R^3 definida por T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,1,2) e T(0,0,1)= (0,0,2). Determinar uma base de cada um dos seguintes subespaços vetoriais: Ker(T), Im(T), Ker(T) cap Im(T), Ker(T)+Im(T)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma transformação linear T(1,0,0) = (1,1,0), T(0,1,0) = (1,1,2), T(0,0,1) = (0,0,2) definida por:
Nosso objetivo é encontrar uma base para quatro subespaços vetoriais diferentes: o núcleo de ( ), a imagem de ( ), a interseção entre eles ( ) e a soma ( ). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, dependência e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o núcleo de T(x, y, z) = xT(1,0,0) + yT(0,1,0) + zT(0,0,1) = x(1,1,0) + y(1,1,2) + z(0,0,2) , ou seja, todos os vetores x + y = 0 x + y = 0 2y + 2z = 0 que satisfazem 2y + 2z = 0 Rightarrow z = -y .
Como (-y, y, -y) = y(-1, 1, -1) é linear, podemos expressar , (-1,, 1,,-1) , como:
Isso resulta no sistema de equações:
Da primeira equação, temos . Substituindo na terceira equação:
Portanto, todo vetor no núcleo pode ser escrito como:
Isso mostra que é gerado pelo vetor . Logo, uma base para o núcleo de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem de T(1,0,0) = (1,1,0), T(0,1,0) = (1,1,2), T(0,0,1) = (0,0,2) , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como (1,1,2) = (1,1,0) + (0,0,2) para algum , (1,, 1,, 0),; (0,, 0,, 2) , .
As imagens dos vetores canônicos são:
Para determinar a imagem, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Observando que:
vemos que é combinação linear de e . Portanto, a imagem de é gerada por e .
Assim, uma base para é:

Passo 4

Vamos determinar a interseção entre o núcleo e a imagem de Ker(T) = , y(-1, 1, -1) mid y in R , , ou seja, Im(T) = span, (1,1,0),; (0,0,2) , .
Sabemos que:
y(-1, 1, -1) = a(1,1,0) + b(0,0,2)
e
- y = a y = a - y = 2b
Queremos encontrar Ker(T) cap Im(T) = , 0 , tais que:
Comparando as coordenadas:
Da primeira e segunda equação, temos , o que implica . Substituindo na terceira equação, , então .
Isso mostra que o único vetor na interseção é o vetor zero. Portanto:
Isso significa que não há vetores não nulos comuns ao núcleo e à imagem de .

Passo 5

Por fim, vamos determinar a soma dos subespaços Ker(T) + Im(T) = , v + w mid v in Ker(T), w in Im(T) , . A soma de dois subespaços é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor do núcleo e um vetor da imagem:
dim(Ker(T)) = 1 e dim(Im(T)) = 2
Sabemos que:
, (-1,, 1,,-1),; (1,, 1,, 0),; (0,, 0,, 2) ,
Como a interseção é trivial ( ), a dimensão da soma é . Portanto, é todo o espaço .
Uma base para é a união das bases de e :

Resposta

Uma base para é ; para , é . A interseção contém apenas o vetor zero. Finalmente, a soma é todo e uma base correspondente é .

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