Seja uma transformação linear. Se e , encontre o valor de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente tem uma transformação linear que transforma vetores do plano em outros vetores do plano. O que queremos é descobrir qual é o valor de usando as informações que já foram dadas: e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como estamos trabalhando em , a matriz será 2x2. Então, podemos escrever:
Nosso objetivo é descobrir os valores de , , e .
Passo 3
Vamos usar as informações dadas para montar um sistema de equações. Sabemos que:
Isso nos dá:
Simplificando, ficamos com:
a + 2b = -2 c + 2d = 3 a - b = 5 c - d = 2
Passo 4
Vamos resolver o sistema para encontrar a + 2b = -2 (1) , a - b = 5 (2) , (a + 2b) - (a - b) = -2 - 5 Rightarrow 3b = -7 Rightarrow b = -73 e a - (-73) = 5 Rightarrow a + 73 = 5 Rightarrow a = 5 - 73 = 83 .
Para as primeiras duas equações:
c + 2d = 3 (3)
c - d = 2 (4)
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
(c + 2d) - (c - d) = 3 - 2 Rightarrow 3d = 1 Rightarrow d = 13
Substituindo c - 13 = 2 Rightarrow c = 2 + 13 = 73 na equação (2):
Agora, para as últimas duas equações:
Subtraindo a equação (4) da equação (3):
Substituindo na equação (4):
Passo 5
Agora que temos os valores da matriz, podemos escrevê-la: