Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear. Se T(1,2)=(-2,3) e T(1,-1)=(5,2), encontre o valor de T(7,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente tem uma transformação linear que transforma vetores do plano em outros vetores do plano. O que queremos é descobrir qual é o valor de usando as informações que já foram dadas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como estamos trabalhando em T(x y) = a & b c & d x y = ax + by cx + dy , a matriz será 2x2. Então, podemos escrever:
Nosso objetivo é descobrir os valores de , , e .

Passo 3

Vamos usar as informações dadas para montar um sistema de equações. Sabemos que:
T(1 2) = -2 3 e T(1 -1) = 5 2
Isso nos dá:
a(1) + b(2) = -2 c(1) + d(2) = 3 a(1) + b(-1) = 5 c(1) + d(-1) = 2
Simplificando, ficamos com:
a + 2b = -2 c + 2d = 3 a - b = 5 c - d = 2

Passo 4

Vamos resolver o sistema para encontrar a + 2b = -2 (1) , a - b = 5 (2) , (a + 2b) - (a - b) = -2 - 5 Rightarrow 3b = -7 Rightarrow b = -73 e a - (-73) = 5 Rightarrow a + 73 = 5 Rightarrow a = 5 - 73 = 83 .
Para as primeiras duas equações:
c + 2d = 3 (3)
c - d = 2 (4)
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
(c + 2d) - (c - d) = 3 - 2 Rightarrow 3d = 1 Rightarrow d = 13
Substituindo c - 13 = 2 Rightarrow c = 2 + 13 = 73 na equação (2):
Agora, para as últimas duas equações:
Subtraindo a equação (4) da equação (3):
Substituindo na equação (4):

Passo 5

Agora que temos os valores da matriz, podemos escrevê-la:
a & b c & d = 83 & -73 73 & 13

Passo 6

Finalmente, vamos calcular T(7 5) = 83 & -73 73 & 13 7 5 = 83 cdot 7 + (-73) cdot 5 73 cdot 7 + 13 cdot 5 usando a matriz encontrada:
= 563 - 353 493 + 53 = 213 543 = 7 18
Calculando:

Resposta

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