Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A missão aqui é encontrar os valores próprios (também chamados de autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz dada:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como encontrar raízes de polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios. Eles são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde representa os valores próprios e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando,

Passo 5

Precisamos resolver a equação quadrática:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:

Passo 6

Assim, temos dois valores para :
Então, os valores próprios são e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Para cada , resolvemos .
Vamos começar com :
Isso nos dá o sistema:
Ambas as equações são equivalentes, então podemos escolher , então .
Portanto, um vetor próprio correspondente a é:

Passo 8

Agora, para :
O sistema fica:
Novamente, as equações são equivalentes. Se escolhermos , então .
Assim, um vetor próprio correspondente a é:

Resposta

Os valores próprios da matriz são e . Os vetores próprios correspondentes são e .

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