Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes: A=[ll2 & 1 3 & 4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A missão aqui é encontrar os valores próprios (também chamados de autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz dada:
A=2 & 1 3 & 4
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como encontrar raízes de polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios. Eles são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde lambda representa os valores próprios e I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 2 - lambda & 1 3 & 4 - lambda

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(4 - lambda) - (3)(1)
Simplificando,
= (2 cdot 4) - 2lambda - 4lambda + lambda^2 - 3
= 8 - 6lambda + lambda^2 - 3
= lambda^2 - 6lambda + 5

Passo 5

Precisamos resolver a equação quadrática:
lambda^2 - 6lambda + 5 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
lambda = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1
= 6 pm raiz36 - 202
= 6 pm raiz162
= 6 pm 42

Passo 6

Assim, temos dois valores para lambda:
  1. lambda1 = 6 + 42 = 5
  2. lambda2 = 6 - 42 = 1
Então, os valores próprios são lambda1 = 5 e lambda2 = 1.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Para cada lambda, resolvemos (A - lambda I)v = 0.
Vamos começar com lambda1 = 5:
A - 5I = 2 - 5 & 1 3 & 4 - 5 = -3 & 1 3 & -1
Isso nos dá o sistema:
-3v1 + v2 = 0 3v1 - v2 = 0
Ambas as equações são equivalentes, então podemos escolher v1 = 1, então v2 = 3.
Portanto, um vetor próprio correspondente a lambda1 = 5 é:
v1 = 1 3

Passo 8

Agora, para lambda2 = 1:
A - 1I = 2 - 1 & 1 3 & 4 - 1 = 1 & 1 3 & 3
O sistema fica:
v1 + v2 = 0 3v1 + 3v2 = 0
Novamente, as equações são equivalentes. Se escolhermos v1 = 1, então v2 = -1.
Assim, um vetor próprio correspondente a lambda2 = 1 é:
v2 = 1 -1

Resposta

Os valores próprios da matriz A são lambda1 = 5 e lambda2 = 1. Os vetores próprios correspondentes são v1 = 1 3 e v2 = 1 -1.

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