Considere P2(R) o conjunto dos polinômios de grau 2 com coeficientes reais.
© Quais são as coordenadas do vetor p(x)=1+2 x-x^2 com relação à base B ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem o conjunto , que é o conjunto de todos os polinômios de grau 2 com coeficientes reais. A pergunta é: quais são as coordenadas do polinômio em relação à base . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como expressar um vetor (ou polinômio, nesse caso) em termos dessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço. No caso dos polinômios de grau 2, uma base comum é . Isso significa que qualquer polinômio de grau 2 pode ser escrito como uma combinação linear desses três.

Passo 3

Agora, para encontrar as coordenadas do polinômio p(x) = a cdot 1 + b cdot x + c cdot x^2 em relação à base , a gente precisa expressar como:
Aqui, , e são os coeficientes que vão ser as coordenadas do polinômio na base .

Passo 4

Vamos igualar os termos correspondentes dos polinômios:
1 + 2x - x^2 = a cdot 1 + b cdot x + c cdot x^2
Isso nos dá um sistema de equações:
a = 1 b = 2 c = -1
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de , e .

Resposta

As coordenadas do polinômio em relação à base são .

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