Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem o conjunto , que é o conjunto de todos os polinômios de grau 2 com coeficientes reais. A pergunta é: quais são as coordenadas do polinômio em relação à base . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como expressar um vetor (ou polinômio, nesse caso) em termos dessa base.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço. No caso dos polinômios de grau 2, uma base comum é . Isso significa que qualquer polinômio de grau 2 pode ser escrito como uma combinação linear desses três.
Passo 3
Agora, para encontrar as coordenadas do polinômio em relação à base , a gente precisa expressar como:
Aqui, , e são os coeficientes que vão ser as coordenadas do polinômio na base .
Passo 4
Vamos igualar os termos correspondentes dos polinômios:
Isso nos dá um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de , e .
Resposta
As coordenadas do polinômio em relação à base são .