Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de
. Em caso afirmativo exiba geradores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se um certo conjunto de matrizes é um subespaço do conjunto de todas as matrizes 2x2, que chamamos de
. Para fazer isso, precisamos lembrar o que define um subespaço:
- Contém a matriz zero: A matriz zero deve estar no conjunto.
- Fechamento por adição: Se pegarmos duas matrizes do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechamento por multiplicação escalar: Se multiplicarmos uma matriz do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto
dado.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o conjunto
contém a matriz zero. A matriz zero em
é:
No conjunto
, as matrizes têm a forma:
E além disso, temos a condição
. Para a matriz zero, temos
,
e
. Vamos verificar a condição:
Tudo confere! Então, a matriz zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado por adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer de
e somarmos, o resultado também deve estar em
.
Sejam duas matrizes de
:
De acordo com a condição de
, temos:
Vamos somar
e
:
Para que
esteja em
, a condição
deve ser satisfeita. Vamos verificar:
Por outro lado:
Claramente,
Isso mostra que
não necessariamente está em
. Portanto,
não é fechado por adição.
Passo 4
Mesmo já sabendo que
não é fechado por adição, vamos verificar a multiplicação escalar para completar a análise.
Pegue uma matriz
em
:
Multiplicando por um escalar
:
Para
estar em
, precisamos que a nova entrada
. Mas na matriz
, temos
. A igualdade
só ocorre se
ou
.
Portanto,
não necessariamente está em
, a menos que
ou
. Assim,
não é fechado por multiplicação escalar em geral.
Resposta
Como o conjunto
não satisfaz as condições de fechamento por adição e por multiplicação escalar, ele não é um subespaço de
.
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