Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2). Em caso afirmativo exiba geradores
W=(lla & b c & 0): a, b, c, d in R e c=-a b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se um certo conjunto de matrizes é um subespaço do conjunto de todas as matrizes 2x2, que chamamos de . Para fazer isso, precisamos lembrar o que define um subespaço:
  1. Contém a matriz zero: A matriz zero deve estar no conjunto.
  2. Fechamento por adição: Se pegarmos duas matrizes do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: Se multiplicarmos uma matriz do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto 0 & 0 0 & 0 contém a matriz zero. A matriz zero em a & b c & 0 é:
c = -a cdot b implies 0 = -0 cdot 0 implies 0 = 0
No conjunto , as matrizes têm a forma:
E além disso, temos a condição . Para a matriz zero, temos , e . Vamos verificar a condição:
Tudo confere! Então, a matriz zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se A = a & b -c & 0 , B = a' & b' -c' & 0 é fechado por adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer de c = -a cdot b e c' = -a' cdot b' e somarmos, o resultado também deve estar em A + B = a + a' & b + b' -c - c' & 0 + 0 = a + a' & b + b' -(c + c') & 0 .
Sejam duas matrizes de cnova = -(c + c') = -(-a cdot b - a' cdot b') = a cdot b + a' cdot b' :
-(a + a') cdot (b + b') = -a cdot b - a cdot b' - a' cdot b - a' cdot b'
De acordo com a condição de a cdot b + a' cdot b' neq -a cdot b - a cdot b' - a' cdot b - a' cdot b' , temos:
Vamos somar e :
Para que esteja em , a condição deve ser satisfeita. Vamos verificar:
Por outro lado:
Claramente,
Isso mostra que não necessariamente está em . Portanto, não é fechado por adição.

Passo 4

Mesmo já sabendo que A = a & b -c & 0 , c = -a cdot b não é fechado por adição, vamos verificar a multiplicação escalar para completar a análise.
Pegue uma matriz kA = k a & k b k (-a cdot b) & 0 = k a & k b - k a cdot b & 0 em :
Multiplicando por um escalar :
Para estar em , precisamos que a nova entrada . Mas na matriz , temos . A igualdade só ocorre se ou .
Portanto, não necessariamente está em , a menos que ou . Assim, não é fechado por multiplicação escalar em geral.

Resposta

Como o conjunto não satisfaz as condições de fechamento por adição e por multiplicação escalar, ele não é um subespaço de .

Exercícios relacionados