Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de . Em caso afirmativo exiba geradores
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se um certo conjunto de matrizes é um subespaço do conjunto de todas as matrizes 2x2, que chamamos de . Para fazer isso, precisamos lembrar o que define um subespaço:
  1. Contém a matriz zero: A matriz zero deve estar no conjunto.
  2. Fechamento por adição: Se pegarmos duas matrizes do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: Se multiplicarmos uma matriz do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto contém a matriz zero. A matriz zero em é:
No conjunto , as matrizes têm a forma:
E além disso, temos a condição . Para a matriz zero, temos , e . Vamos verificar a condição:
Tudo confere! Então, a matriz zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado por adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer de e somarmos, o resultado também deve estar em .
Sejam duas matrizes de :
De acordo com a condição de , temos:
Vamos somar e :
Para que esteja em , a condição deve ser satisfeita. Vamos verificar:
Por outro lado:
Claramente,
Isso mostra que não necessariamente está em . Portanto, não é fechado por adição.

Passo 4

Mesmo já sabendo que não é fechado por adição, vamos verificar a multiplicação escalar para completar a análise.
Pegue uma matriz em :
Multiplicando por um escalar :
Para estar em , precisamos que a nova entrada . Mas na matriz , temos . A igualdade só ocorre se ou .
Portanto, não necessariamente está em , a menos que ou . Assim, não é fechado por multiplicação escalar em geral.

Resposta

Como o conjunto não satisfaz as condições de fechamento por adição e por multiplicação escalar, ele não é um subespaço de .

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