Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
f) A=[lll3 & 2 & 1 1 & 4 & 1 1 & 2 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz dada:
A = 3 & 2 & 1 1 & 4 & 1 1 & 2 & 3
Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais para entender como uma matriz age em certos vetores. Vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e resolver a equação para encontrar os λ (valores próprios). Depois, para cada λ, vamos encontrar os vetores não nulos que satisfazem a equação (A - lambda I)v = 0, onde I é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz A. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade de mesma ordem que A.
Então, vamos montar a matriz (A - lambda I):
A - lambda I = 3 - lambda & 2 & 1 1 & 4 - lambda & 1 1 & 2 & 3 - lambda

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = 3 - lambda & 2 & 1 1 & 4 - lambda & 1 1 & 2 & 3 - lambda
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
det(A - lambda I) = (3 - lambda) cdot det 4 - lambda & 1 2 & 3 - lambda - 2 cdot det 1 & 1 1 & 3 - lambda + 1 cdot det 1 & 4 - lambda 1 & 2

Passo 4

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. det 4 - lambda & 1 2 & 3 - lambda = (4 - lambda)(3 - lambda) - (2)(1) = (12 - 7lambda + lambda^2) - 2 = lambda^2 - 7lambda + 10
  2. det 1 & 1 1 & 3 - lambda = (1)(3 - lambda) - (1)(1) = 3 - lambda - 1 = 2 - lambda
  3. det 1 & 4 - lambda 1 & 2 = (1)(2) - (1)(4 - lambda) = 2 - (4 - lambda) = lambda - 2

Passo 5

Substituindo esses resultados na expressão do determinante:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(lambda^2 - 7lambda + 10) - 2(2 - lambda) + 1(lambda - 2)
Vamos expandir e simplificar:
  1. Multiplicando (3 - lambda)(lambda^2 - 7lambda + 10):
3lambda^2 - 21lambda + 30 - lambda^3 + 7lambda^2 - 10lambda = -lambda^3 + 10lambda^2 - 31lambda + 30
  1. Multiplicando -2(2 - lambda):
-4 + 2lambda
  1. Mantendo 1(lambda - 2):
lambda - 2
Somando tudo:
-lambda^3 + 10lambda^2 - 31lambda + 30 - 4 + 2lambda + lambda - 2 = -lambda^3 + 10lambda^2 - 28lambda + 24

Passo 6

Agora, a equação característica fica:
-lambda^3 + 10lambda^2 - 28lambda + 24 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
lambda^3 - 10lambda^2 + 28lambda - 24 = 0
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de λ.

Passo 7

Para resolver a equação cúbica lambda^3 - 10lambda^2 + 28lambda - 24 = 0, vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 24 (termo constante) divididos pelos divisores de 1 (coeficiente líder):
Possíveis raízes: pm1, pm2, pm3, pm4, pm6, pm8, pm12, pm24
Vamos testar essas raízes na equação:
  1. Para lambda = 2:
2^3 - 10(2)^2 + 28(2) - 24 = 8 - 40 + 56 - 24 = 0
Então, lambda = 2 é uma raiz.

Passo 8

Agora que sabemos que lambda = 2 é uma raiz, podemos fatorar a equação cúbica utilizando a divisão polinomial ou fatorando diretamente.
Dividindo o polinômio por (lambda - 2):
lambda^3 - 10lambda^2 + 28lambda - 24 = (lambda - 2)(lambda^2 - 8lambda + 12)
Agora, vamos resolver a equação quadrática resultante:
lambda^2 - 8lambda + 12 = 0

Passo 9

Resolvendo a equação quadrática lambda^2 - 8lambda + 12 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 cdot 1 cdot 122 cdot 1 = 8 pm raiz64 - 482 = 8 pm raiz162 = 8 pm 42
Assim, as soluções são:
  1. lambda = 8 + 42 = 6
  2. lambda = 8 - 42 = 2
Portanto, os valores próprios são lambda = 2, lambda = 2 e lambda = 6.
Observamos que lambda = 2 tem multiplicidade duas.

Passo 10

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Primeiro, para lambda = 2:
Resolvemos (A - 2I)v = 0:
A - 2I = 3-2 & 2 & 1 1 & 4-2 & 1 1 & 2 & 3-2 = 1 & 2 & 1 1 & 2 & 1 1 & 2 & 1
A equação (A - 2I)v = 0 se torna:
v1 + 2v2 + v3 = 0 v1 + 2v2 + v3 = 0 v1 + 2v2 + v3 = 0
Isso nos dá apenas uma equação independente:
v1 + 2v2 + v3 = 0
Podemos expressar uma variável em termos das outras. Vamos expressar v1:
v1 = -2v2 - v3
Então, podemos parametrizar os vetores próprios como:
v = -2v2 - v3 v2 v3 = v2 -2 1 0 + v3 -1 0 1
Portanto, os vetores próprios para lambda = 2 são combinações lineares de -2 1 0 e -1 0 1 .

Passo 11

Agora, para lambda = 6:
Resolvemos (A - 6I)v = 0:
A - 6I = 3-6 & 2 & 1 1 & 4-6 & 1 1 & 2 & 3-6 = -3 & 2 & 1 1 & -2 & 1 1 & 2 & -3
A equação (A - 6I)v = 0 se torna:
-3v1 + 2v2 + v3 = 0 v1 - 2v2 + v3 = 0 v1 + 2v2 - 3v3 = 0
Vamos resolver esse sistema.

Passo 12

Vamos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar v1 e v3 em termos de v2.
Da segunda equação:
v1 = 2v2 - v3
Substituindo na primeira equação:
-3(2v2 - v3) + 2v2 + v3 = 0 -6v2 + 3v3 + 2v2 + v3 = 0 (-6v2 + 2v2) + (3v3 + v3) = 0 -4v2 + 4v3 = 0 -4v2 = -4v3 v2 = v3
Então, v2 = v3. Vamos chamar v3 = t.
Então:
v2 = t v1 = 2t - t = t
Agora, da terceira equação:
v1 + 2v2 - 3v3 = t + 2t - 3t = 0
Confirma a solução.
Portanto, os vetores próprios para lambda = 6 são múltiplos de:
v = t t t = t 1 1 1

Passo 13

Resumo dos resultados:
  • Valores próprios:
    • lambda1 = 2 (com multiplicidade 2)
    • lambda2 = 6
  • Vetores próprios:
    • Para lambda = 2:
      • v1 = -2 1 0
      • v2 = -1 0 1
    • Para lambda = 6:
      • v = 1 1 1

Resposta

Os valores próprios da matriz A são lambda = 2 (com multiplicidade 2) e lambda = 6.
Os vetores próprios correspondentes são:
  • Para lambda = 2:
    • v1 = -2 1 0
    • v2 = -1 0 1
  • Para lambda = 6:
    • v = 1 1 1

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