Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz dada:
A = 3 & 2 & 1 1 & 4 & 1 1 & 2 & 3
Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais para entender como uma matriz age em certos vetores. Vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e resolver a equação para encontrar os λ (valores próprios). Depois, para cada λ, vamos encontrar os vetores não nulos que satisfazem a equação (A - lambda I)v = 0, onde I é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz A. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade de mesma ordem que A.
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
lambda^3 - 10lambda^2 + 28lambda - 24 = 0
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de λ.
Passo 7
Para resolver a equação cúbica lambda^3 - 10lambda^2 + 28lambda - 24 = 0, vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 24 (termo constante) divididos pelos divisores de 1 (coeficiente líder):