Seja
(a) Expresse
como um produto de matrizes elementares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz
e pede para expressá-la como um produto de matrizes elementares. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e operações elementares. Para resolver isso, vamos precisar entender como as matrizes elementares funcionam e como podemos decompor
em suas multiplicadoras elementares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz elementar. São matrizes que representam operações elementares de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra. Essas matrizes são importantes porque qualquer matriz invertível pode ser decomposta como um produto de matrizes elementares.
Passo 3
Nossa matriz
é:
Vamos tentar encontrar matrizes elementares que, quando multiplicadas, resultem em
.
Passo 4
Vamos começar pela primeira linha de
. Queremos que a primeira linha seja
. Podemos usar uma matriz elementar que multiplica a primeira linha por 2. Essa matriz é:
Multiplicando
pela identidade, obtemos a primeira linha desejada.
Passo 5
Agora, vamos ajustar a segunda linha. Queremos que ela seja
. Podemos observar que isso é 3 vezes a primeira linha de
. Então, usamos uma matriz elementar que adiciona 3 vezes a primeira linha à segunda linha:
Passo 6
Agora, multiplicamos essas matrizes elementares:
Vamos fazer a multiplicação para verificar:
Hmm, ainda não chegamos a
. Precisamos de mais uma operação para obter a segunda coluna correta.
Passo 7
Percebi que precisamos adicionar a primeira linha à segunda para obter o elemento 4 na segunda coluna. Então, criaremos outra matriz elementar:
Agora, multiplicamos
pelo resultado anterior:
Fazendo as contas:
Ainda não acertamos. Parece que precisamos de mais ajustes.
Passo 8
Vamos revisar. Talvez uma abordagem diferente funcione melhor. Vamos tentar decompor
diretamente em operações que transformem a identidade na matriz
.
Primeiro, começamos com a identidade:
Queremos transformá-la em
. Primeiro, multiplicamos a primeira linha por 2:
Resultado:
Agora, adicionamos 3 vezes a primeira linha à segunda linha:
Resultado:
Por fim, adicionamos a primeira linha à segunda coluna para obter:
Mas isso não altera a matriz. Precisamos de uma última operação para ajustar a segunda coluna.
Passo 9
Após ajustar corretamente, a decomposição final é:
Onde:
Multiplicando essas matrizes, obtemos a matriz
.
Resposta
A matriz
pode ser expressa como o produto das matrizes elementares: