Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
A=[rr1 & 3 -1 & 5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é calcular os valores próprios (também conhecidos como autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz 1 & 3 -1 & 5 . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar entender como encontrar os valores próprios resolvendo o determinante da matriz igual a zero e, depois, encontrar os vetores próprios associados a esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os valores próprios A - lambda I = 1 - lambda & 3 -1 & 5 - lambda são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Então, vamos montar :

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(5 - lambda) - (3)(-1) = (1 - lambda)(5 - lambda) + 3
Vamos multiplicar os termos:
(1 - lambda)(5 - lambda) = 5 - lambda - 5lambda + lambda^2 = lambda^2 - 6lambda + 5
Então:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 6lambda + 5 + 3 = lambda^2 - 6lambda + 8

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática lambda^2 - 6lambda + 8 = (lambda - 2)(lambda - 4) = 0 para encontrar os valores próprios. Podemos fatorar a equação ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos tentar fatorar:
lambda1 = 2 e lambda2 = 4
Então, os valores próprios são:

Passo 5

Com os valores próprios encontrados, vamos agora determinar os vetores próprios correspondentes. Para cada valor próprio A - 2I = 1 - 2 & 3 -1 & 5 - 2 = -1 & 3 -1 & 3 , resolvemos -1 cdot v1 + 3 cdot v2 = 0 -1 cdot v1 + 3 cdot v2 = 0 , onde - v1 + 3 v2 = 0 implies v1 = 3 v2 é o vetor próprio.
Vamos começar com v1 = 3 1 :
Isso resulta no sistema de equações:
As duas equações são iguais, então podemos resolver uma delas:
Podemos escolher , então . Portanto, o vetor próprio correspondente a é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor próprio para A - 4I = 1 - 4 & 3 -1 & 5 - 4 = -3 & 3 -1 & 1 :
-3 cdot v1 + 3 cdot v2 = 0 -1 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0
Isso gera o sistema:
- v1 + v2 = 0 implies v1 = v2
Mais uma vez, as duas equações são equivalentes. Resolvendo a segunda:
v2 = 1 1
Escolhendo , então . Portanto, o vetor próprio correspondente a é:

Resposta

Os valores próprios da matriz v1 = 3 1 para lambda1 = 2 são v2 = 1 1 para lambda2 = 4 e . Os vetores próprios correspondentes são:

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