Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é calcular os valores próprios (também conhecidos como autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar entender como encontrar os valores próprios resolvendo o determinante da matriz
igual a zero e, depois, encontrar os vetores próprios associados a esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz
. Os valores próprios
são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
. Então, vamos montar
:
Passo 3
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos multiplicar os termos:
Então:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar os valores próprios. Podemos fatorar a equação ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos tentar fatorar:
Então, os valores próprios são:
Passo 5
Com os valores próprios encontrados, vamos agora determinar os vetores próprios correspondentes. Para cada valor próprio
, resolvemos
, onde
é o vetor próprio.
Vamos começar com
:
Isso resulta no sistema de equações:
As duas equações são iguais, então podemos resolver uma delas:
Podemos escolher
, então
. Portanto, o vetor próprio correspondente a
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o vetor próprio para
:
Isso gera o sistema:
Mais uma vez, as duas equações são equivalentes. Resolvendo a segunda:
Escolhendo
, então
. Portanto, o vetor próprio correspondente a
é:
Resposta
Os valores próprios da matriz
são
e
. Os vetores próprios correspondentes são: