Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada: P(3,2,1) e r: y=2 x, z=x+3.
c) P(1,2,3) e r : eixo 0 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a distância entre o ponto e a reta , que é o eixo . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a reta r(t) = (t, 0, 0) . Sendo o eixo , isso significa que a reta passa pela origem e segue na direção do eixo . Podemos representar qualquer ponto da reta usando um parâmetro da seguinte forma:
onde é um número real que varia ao longo do eixo .

Passo 3

Agora, para encontrar a distância entre o ponto d = ||AP times u||||u|| e a reta , vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço. A fórmula é:
onde:
  • é o vetor que vai de um ponto na reta até o ponto .
  • é o vetor diretor da reta.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o módulo do vetor.

Passo 4

Vamos identificar os vetores necessários. Escolhemos o ponto AP = P - A = (1-0, 2-0, 3-0) = (1,2,3) na reta u = (1,0,0) , que pode ser a origem . Então:
O vetor diretor da reta é a direção em que a reta segue, que no eixo é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial AP times u = i & j & k 1 & 2 & 3 1 & 0 & 0 = i(2 cdot 0 - 3 cdot 0) - j(1 cdot 0 - 3 cdot 1) + k(1 cdot 0 - 2 cdot 1) = i(0) - j(-3) + k(-2) = (0, 3, -2) :

Passo 6

Em seguida, calculamos o módulo do vetor resultante:
||AP times u|| = raiz0^2 + 3^2 + (-2)^2 = raiz0 + 9 + 4 = raiz13
E o módulo do vetor diretor ||u|| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz1 = 1 é:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = ||AP times u||||u|| = raiz131 = raiz13

Resposta

A distância entre o ponto e a reta (eixo ) é unidades.

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