Mostre que os seguintes conjuntos a seguir não são espaços vetoriais.
© O conjunto dos vetores
que satisfaz a equação linear
. Que objeto geométrico é esse? Qual é a diferença com a questão 1 . (h)?
© O conjunto dos vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o conjunto dos vetores
que satisfazem a equação linear
, onde
, não forma um espaço vetorial. Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso, especialmente as propriedades que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa, entre outras coisas, conter o vetor zero. Ou seja, o vetor
tem que estar nesse conjunto.
Passo 3
Vamos verificar se o vetor zero satisfaz a equação
. Substituindo
,
e
, temos:
Mas aí a gente vê que
, o que não é verdade porque
foi dado no problema. Então, o vetor zero não está nesse conjunto.
Passo 4
Já que o conjunto não contém o vetor zero, ele não satisfaz uma das propriedades essenciais de um espaço vetorial. Portanto, ele não pode ser um espaço vetorial.
Passo 5
Agora, sobre o objeto geométrico: a equação
representa um plano no espaço tridimensional. Como
, esse plano não passa pela origem
.
Passo 6
A diferença em relação à questão 1.(h) provavelmente é que na outra questão o valor de
era zero, fazendo com que o plano passasse pela origem, o que permitiria que o conjunto fosse um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto dos vetores
que satisfazem
, com
, não é um espaço vetorial porque não inclui o vetor zero. Geometricamente, esse conjunto é um plano que não passa pela origem. A diferença em relação à questão 1.(h) é que, provavelmente, no item (h) o plano passava pela origem, permitindo que formasse um espaço vetorial.