Mostre que os seguintes conjuntos a seguir não são espaços vetoriais.
© O conjunto dos vetores (x, y, z) que satisfaz a equação linear a x+b y+c z=d, d neq 0. Que objeto geométrico é esse? Qual é a diferença com a questão 1 . (h)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o conjunto dos vetores (x, y, z) que satisfazem a equação linear a x + b y + c z = d, onde d neq 0, não forma um espaço vetorial. Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso, especialmente as propriedades que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa, entre outras coisas, conter o vetor zero. Ou seja, o vetor (0, 0, 0) tem que estar nesse conjunto.

Passo 3

Vamos verificar se o vetor zero satisfaz a equação a x + b y + c z = d. Substituindo x = 0, y = 0 e z = 0, temos:
a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 0 = 0 = d
Mas aí a gente vê que 0 = d, o que não é verdade porque d neq 0 foi dado no problema. Então, o vetor zero não está nesse conjunto.

Passo 4

Já que o conjunto não contém o vetor zero, ele não satisfaz uma das propriedades essenciais de um espaço vetorial. Portanto, ele não pode ser um espaço vetorial.

Passo 5

Agora, sobre o objeto geométrico: a equação a x + b y + c z = d representa um plano no espaço tridimensional. Como d neq 0, esse plano não passa pela origem (0, 0, 0).

Passo 6

A diferença em relação à questão 1.(h) provavelmente é que na outra questão o valor de d era zero, fazendo com que o plano passasse pela origem, o que permitiria que o conjunto fosse um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto dos vetores (x, y, z) que satisfazem a x + b y + c z = d, com d neq 0, não é um espaço vetorial porque não inclui o vetor zero. Geometricamente, esse conjunto é um plano que não passa pela origem. A diferença em relação à questão 1.(h) é que, provavelmente, no item (h) o plano passava pela origem, permitindo que formasse um espaço vetorial.

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