Seja V=R^3. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=(x, y, z) in V: x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos! Temos um espaço vetorial e um subconjunto . Nosso objetivo é verificar se é um subespaço de . Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0 <= 1 contém o vetor zero. O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Então, o vetor zero está em . Isso satisfaz o primeiro critério.

Passo 3

Agora, vamos ver se x1^2 + y1^2 + z1^2 <= 1 e x2^2 + y2^2 + z2^2 <= 1 é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em (x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 + (z1 + z2)^2 , a soma deles também deve estar em | u + v | <= | u | + | v | <= 1 + 1 = 2 .
Vamos considerar dois vetores e em . Então temos:
A soma desses vetores é . Vamos calcular a norma desse vetor:
Usando a desigualdade triangular, sabemos que:
Ou seja, a soma pode ter norma até 2, que é maior que 1. Portanto, não temos garantia de que esteja em . Isso significa que não é fechado sob adição.

Passo 4

Como já vimos que (c x)^2 + (c y)^2 + (c z)^2 = c^2(x^2 + y^2 + z^2) <= c^2 não é fechado sob adição, isso já é suficiente para afirmar que não é um subespaço de . Mas, por curiosidade, vamos verificar também a multiplicação por escalar.
Se pegarmos um vetor e um escalar , então . A norma desse vetor é:
Se , então , o que significa que pode não estar em . Portanto, também não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O subconjunto não é um subespaço de .

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