Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado juntos! Temos um espaço vetorial
e um subconjunto
. Nosso objetivo é verificar se
é um subespaço de
. Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço:
- Contém o vetor zero.
- Fechado sob adição.
- Fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Então, o vetor zero está em
. Isso satisfaz o primeiro critério.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores
e
em
. Então temos:
A soma desses vetores é
. Vamos calcular a norma desse vetor:
Usando a desigualdade triangular, sabemos que:
Ou seja, a soma pode ter norma até 2, que é maior que 1. Portanto, não temos garantia de que
esteja em
. Isso significa que
não é fechado sob adição.
Passo 4
Como já vimos que
não é fechado sob adição, isso já é suficiente para afirmar que
não é um subespaço de
. Mas, por curiosidade, vamos verificar também a multiplicação por escalar.
Se pegarmos um vetor
e um escalar
, então
. A norma desse vetor é:
Se
, então
, o que significa que
pode não estar em
. Portanto,
também não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O subconjunto
não é um subespaço de
.