Seja V=Pn(R), n >= 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=p(x) in V: p(2)=0 e p(5) neq 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente verificar se um certo conjunto de polinômios é um subespaço de W = p(x) in V : p(2) = 0 e p(5) neq 0 , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo com coeficientes reais, onde . O subconjunto dado é:
Para verificar se é um subespaço, precisamos lembrar que, em álgebra linear, um subespaço deve satisfazer três propriedades principais:
  1. Conter o vetor zero: O vetor zero (no nosso caso, o polinômio zero) deve estar em .
  2. Ser fechado sob adição: Se você pegar dois polinômios em e somá-los, o resultado também deve estar em .
  3. Ser fechado sob multiplicação escalar: Se você multiplicar um polinômio em por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar essas propriedades uma a uma para ver se é realmente um subespaço de .

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero, no nosso contexto, é o polinômio .
Vamos verificar as condições de :
  1. : Claro, pois para qualquer , então .
  2. : Mas aqui temos um problema! Como , também temos , o que não satisfaz a condição .
Então, o vetor zero não está em .

Passo 3

Como o vetor zero não está em , já podemos concluir que não é um subespaço de . Mas, para reforçar, vamos dar uma olhada nas outras propriedades.
Imagine que temos dois polinômios e em . Isso significa que:
  • e
  • e
Agora, vamos somá-los: .
Vamos analisar as condições:
  1. → Essa condição é satisfeita.
  2. : Aqui, temos dois casos:
    • Se , então a condição é satisfeita.
    • Mas é possível que , mesmo que e . Nesse caso, a condição não é satisfeita.
Então, não é garantido que a soma de dois polin��mios em esteja em .

Passo 4

Também podemos pensar na multiplicação por um escalar. Suponha que temos um polinômio em e multiplicamos por um número real .
  • → A condição ainda é satisfeita.
  • : Aqui, se , então (porque ). Porém, se , teremos , violando a condição .
Então, não é garantido que a multiplicação por um escalar mantenha o polinômio em .

Resposta

Com base nas verificações acima, não é um subespaço de , pois não contém o vetor zero e não satisfaz as propriedades de fechamento sob adição e multiplicação escalar.

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