Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente verificar se um certo conjunto de polinômios é um subespaço de
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo
com coeficientes reais, onde
. O subconjunto dado é:
Para verificar se
é um subespaço, precisamos lembrar que, em álgebra linear, um subespaço deve satisfazer três propriedades principais:
- Conter o vetor zero: O vetor zero (no nosso caso, o polinômio zero) deve estar em
. - Ser fechado sob adição: Se você pegar dois polinômios em
e somá-los, o resultado também deve estar em . - Ser fechado sob multiplicação escalar: Se você multiplicar um polinômio em
por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar essas propriedades uma a uma para ver se
é realmente um subespaço de
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero, no nosso contexto, é o polinômio
.
Vamos verificar as condições de
:
-
: Claro, pois para qualquer , então . -
: Mas aqui temos um problema! Como , também temos , o que não satisfaz a condição .
Então, o vetor zero não está em
.
Passo 3
Como o vetor zero não está em
, já podemos concluir que
não é um subespaço de
. Mas, para reforçar, vamos dar uma olhada nas outras propriedades.
Imagine que temos dois polinômios
e
em
. Isso significa que:
-
e -
e
Agora, vamos somá-los:
.
Vamos analisar as condições:
-
→ Essa condição é satisfeita. -
: Aqui, temos dois casos: - Se
, então a condição é satisfeita. - Mas é possível que
, mesmo que e . Nesse caso, a condição não é satisfeita.
- Se
Então, não é garantido que a soma de dois polin��mios em
esteja em
.
Passo 4
Também podemos pensar na multiplicação por um escalar. Suponha que temos um polinômio
em
e multiplicamos por um número real
.
-
→ → A condição ainda é satisfeita. -
: Aqui, se , então (porque ). Porém, se , teremos , violando a condição .
Então, não é garantido que a multiplicação por um escalar mantenha o polinômio em
.
Resposta
Com base nas verificações acima,
não é um subespaço de
, pois não contém o vetor zero e não satisfaz as propriedades de fechamento sob adição e multiplicação escalar.