Determine os vetores tangente unitário, normal principal e binormal
da hélice circular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar os vetores tangente unitário, normal principal e binormal da hélice circular dada por
Esse problema está relacionado ao estudo de curvas no espaço tridimensional, usando conceitos de geometria diferencial. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas da função posição, normalizar vetores e usar produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva. O vetor tangente é dado pela derivada da função posição em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos transformar o vetor tangente em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, calculamos a norma de
:
Então, o vetor tangente unitário
é:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o vetor normal principal. Primeiro, derivamos o vetor tangente unitário em relação a
:
Esse vetor aponta para a direção da mudança do vetor tangente.
Passo 5
Agora, normalizamos
para obter o vetor normal principal
:
Portanto, o vetor normal principal é:
Passo 6
Por último, vamos encontrar o vetor binormal
, que é o produto vetorial de
e
:
Calculando o produto vetorial:
Após resolver a multiplicação vetorial, simplificamos para obter:
Resposta
Os vetores tangente unitário, normal principal e binormal da hélice circular são, respectivamente: