Determine os vetores tangente unitário, normal principal e binormal ^1 da hélice circular
sigma(t)=cos t i+sen t j+t k, t in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar os vetores tangente unitário, normal principal e binormal da hélice circular dada por
sigma(t) = cos t, i + sin t, j + t, k, t in R
Esse problema está relacionado ao estudo de curvas no espaço tridimensional, usando conceitos de geometria diferencial. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas da função posição, normalizar vetores e usar produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva. O vetor tangente é dado pela derivada da função posição em relação a sigma'(t) = ddt sigma(t) = -sin t, i + cos t, j + k :

Passo 3

Agora, vamos transformar o vetor tangente em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, calculamos a norma de |sigma'(t)| = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + 1^2 = raizsin^2 t + cos^2 t + 1 = raiz1 + 1 = raiz2 :
T(t) = sigma'(t)|sigma'(t)| = -sin t, i + cos t, j + kraiz2
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor normal principal. Primeiro, derivamos o vetor tangente unitário em relação a T'(t) = ddt ( -sin t, i + cos t, j + kraiz2 ) = -cos t, i - sin t, jraiz2 :
Esse vetor aponta para a direção da mudança do vetor tangente.

Passo 5

Agora, normalizamos |T'(t)| = raiz( -cos traiz2 )^2 + ( -sin traiz2 )^2 = raizcos^2 t + sin^2 t2 = raiz12 = 1raiz2 para obter o vetor normal principal N(t) = T'(t)|T'(t)| = -cos t, i - sin t, j1 = -cos t, i - sin t, j :
Portanto, o vetor normal principal é:

Passo 6

Por último, vamos encontrar o vetor binormal B(t) = T(t) times N(t) , que é o produto vetorial de T(t) times N(t) = ( -sin traiz2 i + cos traiz2 j + 1raiz2 k ) times ( -cos t, i - sin t, j ) e B(t) = sin t, i - cos t, jraiz2 :
Calculando o produto vetorial:
Após resolver a multiplicação vetorial, simplificamos para obter:

Resposta

Os vetores tangente unitário, normal principal e binormal da hélice circular são, respectivamente:
T(t) = -sin t, i + cos t, j + kraiz2
N(t) = -cos t, i - sin t, j
B(t) = sin t, i - cos t, jraiz2

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