Esboce a curva e determine a equação cartesiana
gamma(t)=(-cos t, sen t), t in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida de forma paramétrica: para qualquer valor real de gamma(t) = (-cos t, sen t). Nosso objetivo aqui é desenhar essa curva e descobrir qual é a sua equação no sistema cartesiano, ou seja, uma relação entre t e x sem o parâmetro y. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e entender como converter de parametrização para equação cartesiana.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas x e y em termos de t. Na nossa função gamma(t), temos:
x = -cos t
Nossa meta é eliminar o parâmetro y = sen t e relacionar t e x diretamente.

Passo 3

Sabemos que uma identidade trigonométrica fundamental é:
Vamos usar isso para conectar cos^2 t + sen^2 t = 1 e x. Mas primeiro, precisamos expressar y em função de cos t.

Passo 4

Da equação x = -cos t, podemos isolar cos t:
cos t = -x
Agora, substituímos cos t na identidade trigonométrica:
(-x)^2 + y^2 = 1
x^2 + y^2 = 1

Passo 5

Pronto! Obtivemos a equação cartesiana da curva. Isso significa que a curva é um círculo com raio 1 centrado na origem.

Resposta

A equação cartesiana da curva é x^2 + y^2 = 1.

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