Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes: A=[rrr3 & -1 & -3 0 & 2 & -3 0 & 0 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O pedido é para calcular os valores próprios e os vetores próprios da matriz dada. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar valores próprios (também chamados de autovalores) e vetores próprios (ou autovetores) de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores próprios da matriz lambda1 = 3, lambda2 = 2, lambda3 = -1 . Como a matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os valores próprios são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, os valores próprios são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Para cada (A - lambda I)x = 0 , precisamos resolver a equação:
onde é a matriz identidade e é o vetor próprio.

Passo 4

Para A - 3I = 0 & -1 & -3 0 & -1 & -3 0 & 0 & -4 :
Subtraímos -1x2 - 3x3 = 0 -1x2 - 3x3 = 0 -4x3 = 0 na diagonal principal da matriz x1 = 1 0 0 :
Resolvendo , temos:
Da terceira equação, . Substituindo na primeira, , então . é livre, então podemos escolher .
Vetor próprio correspondente a :

Passo 5

Para A - 2I = 1 & -1 & -3 0 & 0 & -3 0 & 0 & -3 :
Subtraímos x1 - x2 - 3x3 = 0 -3x3 = 0 -3x3 = 0 na diagonal principal da matriz x2 = 1 1 0 :
Resolvendo , temos:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . é livre, então podemos escolher e .
Vetor próprio correspondente a :

Passo 6

Para A + I = 4 & -1 & -3 0 & 3 & -3 0 & 0 & 0 :
Subtraímos 4x1 - x2 - 3x3 = 0 3x2 - 3x3 = 0 0 = 0 na diagonal principal da matriz 4x1 - x3 - 3x3 = 0 Rightarrow 4x1 - 4x3 = 0 Rightarrow x1 = x3 :
x3 = 1 1 1
Resolvendo , temos:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Tanto quanto são livres, mas como e , podemos escolher .
Vetor próprio correspondente a :

Resposta

Os valores próprios são x1 = 1 0 0 , x2 = 1 1 0 , x3 = 1 1 1 , e , com os respectivos vetores próprios:

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