Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O pedido é para calcular os valores próprios e os vetores próprios da matriz dada. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar valores próprios (também chamados de autovalores) e vetores próprios (ou autovetores) de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores próprios da matriz . Como a matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os valores próprios são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, os valores próprios são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Para cada , precisamos resolver a equação:
onde é a matriz identidade e é o vetor próprio.

Passo 4

Para :
Subtraímos na diagonal principal da matriz :
Resolvendo , temos:
Da terceira equação, . Substituindo na primeira, , então . é livre, então podemos escolher .
Vetor próprio correspondente a :

Passo 5

Para :
Subtraímos na diagonal principal da matriz :
Resolvendo , temos:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . é livre, então podemos escolher e .
Vetor próprio correspondente a :

Passo 6

Para :
Subtraímos na diagonal principal da matriz :
Resolvendo , temos:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Tanto quanto são livres, mas como e , podemos escolher .
Vetor próprio correspondente a :

Resposta

Os valores próprios são , e , com os respectivos vetores próprios:

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