Considere o plano de equação e a reta de equação .
Dê um exemplo de uma reta contida em e que é perpendicular a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um plano dado pela equação e uma reta com a equação paramétrica . O que precisamos fazer é encontrar uma outra reta que está dentro desse plano e que seja perpendicular à reta . Para isso, vamos precisar entender como duas retas podem ser perpendiculares e como encontrar uma reta que está em um plano específico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta . A equação paramétrica dela é . Isso significa que o vetor diretor da reta é . Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando.
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma reta que esteja contida no plano e que seja perpendicular à reta . Para que uma reta esteja no plano, seu vetor diretor deve ser paralelo ao plano. Além disso, para que seja perpendicular à reta , o vetor diretor dessa nova reta deve ser perpendicular a .
Passo 4
Primeiro, vamos identificar um vetor diretor que seja perpendicular a . Para dois vetores serem perpendiculares, o produto interno deles deve ser zero. Seja o vetor diretor da nova reta. Temos então:
Além disso, como a reta está no plano , o vetor diretor deve ser paralelo ao plano. Isso implica que é perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é . Então:
Passo 5
Temos agora um sistema de duas equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Multiplicando a segunda equação por 2:
Subtraindo a primeira equação dessa nova equação:
Substituindo na segunda equação original:
Passo 6
Agora, podemos escolher um valor para para encontrar os componentes e . Vamos escolher para simplificar os cálculos:
Então, o vetor diretor é .
Passo 7
Agora, precisamos de um ponto que esteja no plano . Podemos escolher, por exemplo, o ponto , pois quando e , satisfaz a equação do plano.
Passo 8
Com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta que procuramos:
Resposta
Um exemplo de reta contida no plano e perpendicular à reta é: