Considere o plano de equação x+2 y z=3 e a reta r de equação (x, y, z)= (2,1,1)+t(2,1,4).
Dê um exemplo de uma reta contida em e que é perpendicular a r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um plano dado pela equação e uma reta com a equação paramétrica . O que precisamos fazer é encontrar uma outra reta que está dentro desse plano e que seja perpendicular à reta . Para isso, vamos precisar entender como duas retas podem ser perpendiculares e como encontrar uma reta que está em um plano específico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta . A equação paramétrica dela é . Isso significa que o vetor diretor da reta é . Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando.

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma reta que esteja contida no plano e que seja perpendicular à reta . Para que uma reta esteja no plano, seu vetor diretor deve ser paralelo ao plano. Além disso, para que seja perpendicular à reta , o vetor diretor dessa nova reta deve ser perpendicular a .

Passo 4

Primeiro, vamos identificar um vetor diretor que seja perpendicular a v cdot vr = 2a + 1b + 4c = 0 . Para dois vetores serem perpendiculares, o produto interno deles deve ser zero. Seja v cdot n = 1a + 2b + 1c = 0 o vetor diretor da nova reta. Temos então:
Além disso, como a reta está no plano , o vetor diretor deve ser paralelo ao plano. Isso implica que é perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é . Então:

Passo 5

Temos agora um sistema de duas equações com três incógnitas:
2a + b + 4c = 0 a + 2b + c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de 2a + 4b + 2c = 0 , (2a + 4b + 2c) - (2a + b + 4c) = 0 - 0 3b - 2c = 0 3b = 2c b = 23c e a + 2(23c) + c = 0 a + 43c + c = 0 a + 73c = 0 a = -73c .
Multiplicando a segunda equação por 2:
Subtraindo a primeira equação dessa nova equação:
Substituindo na segunda equação original:

Passo 6

Agora, podemos escolher um valor para a = -73 times 3 = -7 b = 23 times 3 = 2 para encontrar os componentes e . Vamos escolher para simplificar os cálculos:
Então, o vetor diretor é .

Passo 7

Agora, precisamos de um ponto que esteja no plano . Podemos escolher, por exemplo, o ponto , pois quando e , satisfaz a equação do plano.

Passo 8

Com o ponto (x, y, z) = (0, 0, 3) + t(-7, 2, 3) e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta que procuramos:

Resposta

Um exemplo de reta contida no plano (x, y, z) = (0,, 0,, 3) + t,(-7,, 2,, 3) e perpendicular à reta é:

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