Considere o plano de equação
e a reta
de equação
.
Dê um exemplo de uma reta contida em e que é perpendicular a
.
Dê um exemplo de uma reta contida em e que é perpendicular a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um plano dado pela equação
e uma reta
com a equação paramétrica
. O que precisamos fazer é encontrar uma outra reta que está dentro desse plano e que seja perpendicular à reta
. Para isso, vamos precisar entender como duas retas podem ser perpendiculares e como encontrar uma reta que está em um plano específico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta
. A equação paramétrica dela é
. Isso significa que o vetor diretor da reta
é
. Esse vetor indica a direção em que a reta
está apontando.
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma reta que esteja contida no plano
e que seja perpendicular à reta
. Para que uma reta esteja no plano, seu vetor diretor deve ser paralelo ao plano. Além disso, para que seja perpendicular à reta
, o vetor diretor dessa nova reta deve ser perpendicular a
.
Passo 4
Primeiro, vamos identificar um vetor diretor que seja perpendicular a
. Para dois vetores serem perpendiculares, o produto interno deles deve ser zero. Seja
o vetor diretor da nova reta. Temos então:
Além disso, como a reta está no plano
, o vetor diretor
deve ser paralelo ao plano. Isso implica que
é perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é
. Então:
Passo 5
Temos agora um sistema de duas equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
,
e
.
Multiplicando a segunda equação por 2:
Subtraindo a primeira equação dessa nova equação:
Substituindo
na segunda equação original:
Passo 6
Agora, podemos escolher um valor para
para encontrar os componentes
e
. Vamos escolher
para simplificar os cálculos:
Então, o vetor diretor é
.
Passo 7
Agora, precisamos de um ponto que esteja no plano
. Podemos escolher, por exemplo, o ponto
, pois quando
e
,
satisfaz a equação do plano.
Passo 8
Com o ponto
e o vetor diretor
, podemos escrever a equação paramétrica da reta que procuramos:
Resposta
Um exemplo de reta contida no plano
e perpendicular à reta
é: