Considere o plano de equação 2 x+y z=4 e a reta r de equação (x, y, z)= (0,3, 4)+t(1, 1,2).
Calcule o angulo entre r e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano com a equação e uma reta com a equação . A missão aqui é calcular o ângulo entre a reta e o plano. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores diretores e vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta . A equação da reta está na forma paramétrica , onde é o vetor diretor da reta. Vamos chamar esse vetor de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano. A equação do plano é . Os coeficientes de , e nessa equação nos dão o vetor normal. Então, o vetor normal é .

Passo 4

O próximo passo é calcular o produto escalar entre o vetor diretor da reta v cdot n = (1)(2) + (1)(1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2 = 5 e o vetor normal do plano . O produto escalar é dado por:

Passo 5

Também precisamos calcular o módulo (ou comprimento) de cada vetor:
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
|n| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 6

Agora, usamos a fórmula do ângulo entre dois vetores:
costheta = v cdot n|v| |n| = 5raiz6 times raiz6 = 56
Portanto, o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano é:
theta = arccos(56) approx 33,56^circ

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é aproximadamente 33,56 graus.

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