Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares: T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(5 x-y, x+3 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre valores próprios e vetores próprios de uma transformação linear. A gente vai trabalhar com transformações lineares, que são funções que mapeiam vetores de um espaço para outro, mantendo a estrutura linear. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) de uma matriz que representa essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T(x, y) = (5x - y, x + 3y) como uma matriz. A transformação dada é:
A = 5 & -1 1 & 3
Isso corresponde à matriz:

Passo 3

Agora, para encontrar os valores próprios da matriz det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
Aqui, representa os valores próprios e é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos montar a matriz A - lambda I = 5 - lambda & -1 1 & 3 - lambda :
det(A - lambda I) = (5 - lambda)(3 - lambda) - (-1)(1) = (5 - lambda)(3 - lambda) + 1
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

Expandindo a expressão:
(5 - lambda)(3 - lambda) = 15 - 5lambda - 3lambda + lambda^2 = lambda^2 - 8lambda + 15
Então:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 8lambda + 15 + 1 = lambda^2 - 8lambda + 16

Passo 6

Agora, resolvemos a equação característica:
lambda^2 - 8lambda + 16 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 8 pm raiz64 - 642 = 8 pm 02 = 4
Então, temos um valor próprio duplo: .

Passo 7

Agora que temos o valor próprio (A - 4I)v = 0 , vamos encontrar o vetor próprio correspondente. Para isso, resolvemos:
A - 4I = 5 - 4 & -1 1 & 3 - 4 = 1 & -1 1 & -1
Primeiro, vamos montar a matriz :

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações:
1 cdot v1 - 1 cdot v2 = 0 1 cdot v1 - 1 cdot v2 = 0
Essas duas equações são iguais, então podemos escrever:
v1 = v2
Isso significa que qualquer vetor da forma t t , onde é um número real, é um vetor próprio.

Resposta

Os valores próprios da transformação t t são (de multiplicidade 2) e os vetores próprios correspondentes são todos os vetores não nulos da forma , onde é um número real.

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