Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre valores próprios e vetores próprios de uma transformação linear. A gente vai trabalhar com transformações lineares, que são funções que mapeiam vetores de um espaço para outro, mantendo a estrutura linear. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) de uma matriz que representa essa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear
como uma matriz. A transformação dada é:
Isso corresponde à matriz:
Passo 3
Agora, para encontrar os valores próprios da matriz
, precisamos resolver a equação característica:
Aqui,
representa os valores próprios e
é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Expandindo a expressão:
Então:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação característica:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um valor próprio duplo:
.
Passo 7
Agora que temos o valor próprio
, vamos encontrar o vetor próprio correspondente. Para isso, resolvemos:
Primeiro, vamos montar a matriz
:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações:
Essas duas equações são iguais, então podemos escrever:
Isso significa que qualquer vetor da forma
, onde
é um número real, é um vetor próprio.
Resposta
Os valores próprios da transformação
são
(de multiplicidade 2) e os vetores próprios correspondentes são todos os vetores não nulos da forma
, onde
é um número real.