1,
Calcular o volume do cilindro e sua incerteza usando a equação de propagação de erros

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o volume de um cilindro e também a incerteza desse volume usando a equação de propagação de erros. Então, vamos trabalhar com geometria, especificamente com a fórmula do volume do cilindro, e utilizar um pouco de estatística para entender como as incertezas nas medidas de raio e altura afetam o volume final.

Passo 2

Primeiro, vamo relembrar a fórmula básica pra calcular o volume de um cilindro. A equação é:
V = pi r^2 h
Onde:
  • $ V $ é o volume do cilindro,
  • $ r $ é o raio da base,
  • $ h $ é a altura do cilindro,
  • $ \pi $ é aproximadamente 3,1416.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a incerteza no volume, ou seja, como as incertezas nas medidas de $ r $ e $ h $ afetam o $ V r çãçãááçã \Delta V $) pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
h
Onde:
  • $ \Delta V $ é a incerteza no volume,
  • $ \frac{\partial V}{\partial r} $ e $ \frac{\partial V}{\partial h} $ são as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ r $ e $ h $ respectivamente,
  • $ \Delta r $ e $ \Delta h $ são as incertezas nas medidas de $ r $ e $ h $.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada de $ V $ em relação a $ r $:
V
  1. Derivada de $ V $ em relação a $ h $:
r
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da incerteza:
partial Vpartial r = 2pi r h
Podemos fatorar $ \pi^2 $ para simplificar:
V

Resposta

Então, o volume do cilindro é dado por:
V = pi r^2 h
E a incerteza no volume, considerando as incertezas nas medidas de raio ($ \Delta r De \Delta h $), é:
De

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