1,
Calcular o volume do cilindro e sua incerteza usando a equação de propagação de erros
Calcular o volume do cilindro e sua incerteza usando a equação de propagação de erros
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o volume de um cilindro e também a incerteza desse volume usando a equação de propagação de erros. Então, vamos trabalhar com geometria, especificamente com a fórmula do volume do cilindro, e utilizar um pouco de estatística para entender como as incertezas nas medidas de raio e altura afetam o volume final.
Passo 2
Primeiro, vamo relembrar a fórmula básica pra calcular o volume de um cilindro. A equação é:
Onde:
- $ V $ é o volume do cilindro,
- $ r $ é o raio da base,
- $ h $ é a altura do cilindro,
- $ \pi $ é aproximadamente 3,1416.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a incerteza no volume, ou seja, como as incertezas nas medidas de $ r $ e $ h $ afetam o $ V
\Delta V $) pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Onde:
- $ \Delta V $ é a incerteza no volume,
- $ \frac{\partial V}{\partial r} $ e $ \frac{\partial V}{\partial h} $ são as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ r $ e $ h $ respectivamente,
- $ \Delta r $ e $ \Delta h $ são as incertezas nas medidas de $ r $ e $ h $.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada de $ V $ em relação a $ r $:
- Derivada de $ V $ em relação a $ h $:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da incerteza:
Podemos fatorar $ \pi^2 $ para simplificar:
Resposta
Então, o volume do cilindro é dado por:
E a incerteza no volume, considerando as incertezas nas medidas de raio ($ \Delta r
\Delta h $), é: