Uma pequena esfera de massa
, raio
cm e momento de inércia
é largada do repouso no ponto
e rola sem deslizar ao longo de um trilho
(Figura a lado). O trecho
é um plano inclinado de ângulo
altura
e o trecho
é um plano horizontal.utilizando conceitos de conservação de energia, resolva os itens abaixo:
(a) Qual a velocidade de centro de massa e a velocidade angular da esfera no ponto C?;
(b) Calcule as energias cinéticas de translação e rotação no ponto
,
© Qual a aceleração da esfera ao longo do plano inclinado
?
(a) Qual a velocidade de centro de massa e a velocidade angular da esfera no ponto C?;
(b) Calcule as energias cinéticas de translação e rotação no ponto
© Qual a aceleração da esfera ao longo do plano inclinado
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera rolando sem deslizar por um trilho que tem um trecho inclinado e outro horizontal. O conteúdo principal aqui é conservação de energia e dinâmica de rotação. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de energia cinética (tanto de translação quanto de rotação) e a relação entre velocidade linear e angular quando não há deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando a esfera rola do ponto A até o ponto C. No ponto A, a esfera está parada, então a energia total é apenas potencial gravitacional. No ponto C, toda essa energia se transformou em energia cinética de translação e rotação.
Passo 3
A energia potencial no ponto A é dada por:
Onde:
- $ m = 0,1 , kg $ (100 g convertidos para kg)
- $ g = 9,8 , m/s² $ (aceleração da gravidade)
- $ h = 1,0 , m $
Então, substituindo:
Passo 4
No ponto C, a energia total é a soma da energia cinética de translação ($ E_{kt}
E_{kr} $):
Sabemos que:
E como a esfera rola sem deslizar, $ v = \omega r $, então podemos substituir $ \omega $ por $ \frac{v}{r} $ na equação da energia de rotação.
Passo 5
Substituindo $ \omega = \frac{v}{r} $ em $ E_{kr} $:
Passo 6
Agora, somando $ E_{kt} $ e $ E_{kr} $:
Passo 7
Pela conservação de energia, a energia potencial inicial é igual à energia total no ponto C:
Podemos cancelar $ m $ dos dois lados:
Passo 8
Agora, isolamos $ v $ para encontrar a velocidade do centro de massa no ponto C:
Substituindo $ g = 9,8 , m/s² $ e $ h = 1,0 , m $:
Passo 9
Agora, encontramos a velocidade angular usando $ v = \omega r $:
Resposta
A velocidade do centro de massa da esfera no ponto C é aproximadamente $ 3,74 , m/s $ e a velocidade angular correspondente é $ 374 , rad/s $.