Uma pequena esfera de massa m=100 g, raio r=1,0 cm e momento de inércia 1=(2 / 5) mr^2 é largada do repouso no ponto A e rola sem deslizar ao longo de um trilho A B C (Figura a lado). O trecho A B é um plano inclinado de ângulo theta=30^circ e altura h=1,0 m e o trecho B C é um plano horizontal.utilizando conceitos de conservação de energia, resolva os itens abaixo:
(a) Qual a velocidade de centro de massa e a velocidade angular da esfera no ponto C?;
(b) Calcule as energias cinéticas de translação e rotação no ponto C,
© Qual a aceleração da esfera ao longo do plano inclinado A B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera rolando sem deslizar por um trilho que tem um trecho inclinado e outro horizontal. O conteúdo principal aqui é conservação de energia e dinâmica de rotação. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de energia cinética (tanto de translação quanto de rotação) e a relação entre velocidade linear e angular quando não há deslizamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando a esfera rola do ponto A até o ponto C. No ponto A, a esfera está parada, então a energia total é apenas potencial gravitacional. No ponto C, toda essa energia se transformou em energia cinética de translação e rotação.

Passo 3

A energia potencial no ponto A é dada por:
Ep = mgh
Onde:
  • $ m = 0,1 , kg $ (100 g convertidos para kg)
  • $ g = 9,8 , m/s² $ (aceleração da gravidade)
  • $ h = 1,0 , m $
Então, substituindo:
m = 0,1 , kg

Passo 4

No ponto C, a energia total é a soma da energia cinética de translação ($ E_{kt} Ekt éçã E_{kr} $):
Ekr
Sabemos que:
Etotal = Ekt + Ekr
Ekt = 12mv^2
E como a esfera rola sem deslizar, $ v = \omega r $, então podemos substituir $ \omega $ por $ \frac{v}{r} $ na equação da energia de rotação.

Passo 5

Substituindo $ \omega = \frac{v}{r} $ em $ E_{kr} $:
omega = vr

Passo 6

Agora, somando $ E_{kt} $ e $ E_{kr} $:
Ekt

Passo 7

Pela conservação de energia, a energia potencial inicial é igual à energia total no ponto C:
mgh = 710mv^2
Podemos cancelar $ m $ dos dois lados:
m

Passo 8

Agora, isolamos $ v $ para encontrar a velocidade do centro de massa no ponto C:
v
v^2 = 107gh
Substituindo $ g = 9,8 , m/s² $ e $ h = 1,0 , m $:
v = raiz107gh

Passo 9

Agora, encontramos a velocidade angular usando $ v = \omega r $:
v = omega r

Resposta

A velocidade do centro de massa da esfera no ponto C é aproximadamente $ 3,74 , m/s $ e a velocidade angular correspondente é $ 374 , rad/s $.

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