Um cilindro maciço com raio
e massa
Kg parte do repouso e rola para baixo uma distância
sem deslizar, em um telhado com uma inclinação
.
(a) Qual é a velocidade angular do cilindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado?
(b) A borda do telhado está a uma altura
A que distância horizontal da borda do telhado o cilindro atinge o chão? Considere,
o momento de inércia do cilindro
(a) Qual é a velocidade angular do cilindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado?
(b) A borda do telhado está a uma altura
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um cilindro maciço com raio de $ r = 12,6 , cm $ e massa de $ m = 17 , kg $ que começa a rolar sem deslizar por uma distância de $ L = 9,0 , m $ em um telhado inclinado a $ \theta = 24^{\circ} $. Precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar a velocidade angular do cilindro quando ele deixa o telhado.
b) Calcular a distância horizontal que o cilindro percorre até atingir o chão, sabendo que a borda do telhado está a uma altura de $ H = 7,0 , m $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e movimento de rotação na Física.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). Queremos achar a velocidade angular $ \omega $ do cilindro quando ele deixa o telhado. Como o cilindro rola sem deslizar, a velocidade linear $ v $ está relacionada com a velocidade angular pela fórmula:
Isso significa que se conhecermos $ v $, podemos encontrar $ \omega $.
Passo 3
Para encontrar $ v $, vamos usar o princípio da conservação da energia. A energia potencial gravitacional que o cilindro tem no topo do telhado se transforma em energia cinética translacional e rotacional quando ele chega ao final do telhado.
A energia potencial inicial é:
Onde:
- $ m $ é a massa ($ 17 , kg $),
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,8 , m/s^2 $),
- $ h $ é a altura que o cilindro desce.
Primeiro, precisamos encontrar $ h $, a altura do telhado.
Passo 4
A altura $ h $ pode ser encontrada usando a trigonometria. Sabemos que o cilindro desce uma distância $ L = 9,0 , m $ ao longo de uma rampa inclinada a $ \theta = 24^{\circ} $. A altura é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, aplicamos a conservação da energia. A energia potencial no início é igual à soma da energia cinética translacional e rotacional no fim:
Sabemos que para um cilindro maciço, o momento de inércia $ I $ é:
E lembrando que $ v = \omega r $, podemos substituir $ \omega $ por $ \frac{v}{r} $ na equação.
Passo 6
Substituindo $ I $ e $ \omega $ na equação de conservação da energia:
Simplificando:
Podemos cancelar $ m $ dos dois lados:
Passo 7
Agora, isolamos $ v^2 $:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 8
Agora que temos $ v $, podemos encontrar $ \omega $ usando a relação $ v = \omega r $:
Mas precisamos converter o raio para metros:
Então,
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber a distância horizontal que o cilindro percorre até atingir o chão. Depois de deixar o telhado, o cilindro se comporta como um projétil com velocidade inicial inclinada.
A velocidade inicial tem componentes horizontal e vertical:
Com $ v = 6,86 , m/s $ e $ \theta = 24^{\circ} $, usando $ \cos(24^{\circ}) = 0,9 $ e $ \sin(24^{\circ}) = 0,4 $:
Passo 10
Agora, vamos calcular o tempo $ t $ que o cilindro leva para cair da altura $ H = 7,0 , m $. Usamos a equação do movimento vertical:
Substituindo os valores:
Esta é uma equação quadrática que podemos resolver para $ t $.
Passo 11
Rearranjando a equação:
Vamos usar a fórmula quadrática:
Onde:
- $ a = 4,9 $,
- $ b = 2,744 $,
- $ c = -7,0 $.
Calculando o discriminante:
Então,
Ignoramos a solução negativa, então:
Passo 12
Finalmente, calculamos a distância horizontal $ x $:
Resposta
a) A velocidade angular do cilindro ao deixar o telhado é aproximadamente $ \omega \approx 54,37 , rad/s $.
b) O cilindro atinge o chão a uma distância horizontal de aproximadamente $ 5,84 , metros $ da borda do telhado.