Um cilindro maciço com raio r=12,6 cm e massa m=17 Kg parte do repouso e rola para baixo uma distância L=9,0 m sem deslizar, em um telhado com uma inclinação theta=24^circ.
(a) Qual é a velocidade angular do cilindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado?
(b) A borda do telhado está a uma altura H=7,0 m A que distância horizontal da borda do telhado o cilindro atinge o chão? Considere, sen(24^circ)=0,4, cos (24^circ)=0,9 e^circ I=m r^22 o momento de inércia do cilindro

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um cilindro maciço com raio de $ r = 12,6 , cm $ e massa de $ m = 17 , kg $ que começa a rolar sem deslizar por uma distância de $ L = 9,0 , m $ em um telhado inclinado a $ \theta = 24^{\circ} $. Precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar a velocidade angular do cilindro quando ele deixa o telhado.
b) Calcular a distância horizontal que o cilindro percorre até atingir o chão, sabendo que a borda do telhado está a uma altura de $ H = 7,0 , m $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e movimento de rotação na Física.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). Queremos achar a velocidade angular $ \omega $ do cilindro quando ele deixa o telhado. Como o cilindro rola sem deslizar, a velocidade linear $ v $ está relacionada com a velocidade angular pela fórmula:
omega
Isso significa que se conhecermos $ v $, podemos encontrar $ \omega $.

Passo 3

Para encontrar $ v $, vamos usar o princípio da conservação da energia. A energia potencial gravitacional que o cilindro tem no topo do telhado se transforma em energia cinética translacional e rotacional quando ele chega ao final do telhado.
A energia potencial inicial é:
v
Onde:
  • $ m $ é a massa ($ 17 , kg $),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,8 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a altura que o cilindro desce.
Primeiro, precisamos encontrar $ h $, a altura do telhado.

Passo 4

A altura $ h $ pode ser encontrada usando a trigonometria. Sabemos que o cilindro desce uma distância $ L = 9,0 , m $ ao longo de uma rampa inclinada a $ \theta = 24^{\circ} $. A altura é dada por:
h
Substituindo os valores:
L = 9,0 , m

Passo 5

Agora, aplicamos a conservação da energia. A energia potencial no início é igual à soma da energia cinética translacional e rotacional no fim:
m g h = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Sabemos que para um cilindro maciço, o momento de inércia $ I $ é:
I
E lembrando que $ v = \omega r $, podemos substituir $ \omega $ por $ \frac{v}{r} $ na equação.

Passo 6

Substituindo $ I $ e $ \omega $ na equação de conservação da energia:
I
Simplificando:
omega
m g h = 12 m v^2 + 12 ( 12 m r^2 ) ( vr )^2
Podemos cancelar $ m $ dos dois lados:
m g h = 12 m v^2 + 14 m v^2

Passo 7

Agora, isolamos $ v^2 $:
v^2
Substituindo os valores:
v^2 = 43 g h
v^2 = 43 times 9,8 , m/s^2 times 3,6 , m
v^2 = 43 times 35,28 , m^2/s^2
Então,
v^2 = 47,04 , m^2/s^2

Passo 8

Agora que temos $ v $, podemos encontrar $ \omega $ usando a relação $ v = \omega r $:
v
Mas precisamos converter o raio para metros:
omega
Então,
v = omega r

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber a distância horizontal que o cilindro percorre até atingir o chão. Depois de deixar o telhado, o cilindro se comporta como um projétil com velocidade inicial inclinada.
A velocidade inicial tem componentes horizontal e vertical:
vx = v cos(theta)
vy = v sin(theta)
Com $ v = 6,86 , m/s $ e $ \theta = 24^{\circ} $, usando $ \cos(24^{\circ}) = 0,9 $ e $ \sin(24^{\circ}) = 0,4 $:
v = 6,86 , m/s
theta = 24^circ

Passo 10

Agora, vamos calcular o tempo $ t $ que o cilindro leva para cair da altura $ H = 7,0 , m $. Usamos a equação do movimento vertical:
t
Substituindo os valores:
H = 7,0 , m
H = vy t + 12 g t^2
Esta é uma equação quadrática que podemos resolver para $ t $.

Passo 11

Rearranjando a equação:
4,9 , t^2 + 2,744 , t - 7,0 = 0
Vamos usar a fórmula quadrática:
t = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Onde:
  • $ a = 4,9 $,
  • $ b = 2,744 $,
  • $ c = -7,0 $.
Calculando o discriminante:
a = 4,9
Então,
b = 2,744
c = -7,0
Ignoramos a solução negativa, então:
De

Passo 12

Finalmente, calculamos a distância horizontal $ x $:
x

Resposta

a) A velocidade angular do cilindro ao deixar o telhado é aproximadamente $ \omega \approx 54,37 , rad/s $.
b) O cilindro atinge o chão a uma distância horizontal de aproximadamente $ 5,84 , metros $ da borda do telhado.

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