Calcular o volume da parte da esfera que está entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume da parte da esfera definida por que está entre os planos e . Isso envolve conhecimentos de geometria espacial e cálculo de integrais para encontrar volumes de regiões esféricas. Vamos utilizar coordenadas esféricas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da esfera . Essa é uma esfera com centro na origem e raio . Queremos encontrar o volume da parte dessa esfera que está acima do plano (plano xy) e abaixo do plano .

Passo 3

Para calcular esse volume, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto é dado por , sendo:
  • : distância do ponto à origem,
  • : ângulo no plano xy,
  • : ângulo com o eixo z.
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 4

O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Vamos estabelecer os limites de integração:
  • varia de 0 até ,
  • varia de 0 a (círculo completo no plano xy),
  • precisa ser determinado a partir dos planos e .

Passo 5

Para encontrar os limites de , observamos que:
  • No plano , ,
  • No plano , temos . Como , substituímos:
Logo, varia de 0 até .

Passo 6

Agora, montamos a integral para o volume:
Primeiro, integramos em :

Passo 7

Substituindo na integral:
Integrando em :

Passo 8

Agora, integramos em :

Resposta

O volume da parte da esfera que está entre os planos e é unidades cúbicas.

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Calcule:
Calcule as seguintes integrais, aplicando o Método de Integração por Frações Parciais:
Na igualdade abaixo, as constantes e valem respectivamente: . (a)
© (b) e
(d) e