Calcular o volume da parte da esfera
que está entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume da parte da esfera definida por
que está entre os planos
e
. Isso envolve conhecimentos de geometria espacial e cálculo de integrais para encontrar volumes de regiões esféricas. Vamos utilizar coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da esfera
. Essa é uma esfera com centro na origem
e raio
. Queremos encontrar o volume da parte dessa esfera que está acima do plano
(plano xy) e abaixo do plano
.
Passo 3
Para calcular esse volume, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto é dado por
, sendo:
-
: distância do ponto à origem, -
: ângulo no plano xy, -
: ângulo com o eixo z.
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
Passo 4
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Vamos estabelecer os limites de integração:
-
varia de 0 até , -
varia de 0 a (círculo completo no plano xy), -
precisa ser determinado a partir dos planos e .
Passo 5
Para encontrar os limites de
, observamos que:
- No plano
, , - No plano
, temos . Como , substituímos:
Logo,
varia de 0 até
.
Passo 6
Agora, montamos a integral para o volume:
Primeiro, integramos em
:
Passo 7
Substituindo na integral:
Integrando em
:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Resposta
O volume da parte da esfera que está entre os planos
e
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule:
Calcule as seguintes integrais, aplicando o Método de Integração por Frações Parciais:
Na igualdade abaixo, as constantes
e
valem respectivamente:
. (a)
© (b)
e
(d) e
©
(d)