Calcule as seguintes integrais, aplicando o Método de Integração por Frações Parciais:
Passo 1
Beleza, temos a integral
. O tema aqui é Integração por Frações Parciais, que a gente vai usar para quebrar a expressão complicada em partes mais fáceis de integrar. Vamos precisar fatorar o denominador e ajustar o numerador pra facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o denominador
. Não dá pra fatorar diretamente com números inteiros, então vamos completar o quadrado pra reescrever essa expressão.
Isso ajuda a simplificar a integral mais pra frente.
Passo 3
Agora, a gente tem a integral em:
Vamos fazer uma substituição pra deixar tudo em termos de
. Assim,
e
.
Passo 4
Substituindo na integral:
Vamos expandir o numerador:
Então, o numerador fica:
Portanto, a integral vira:
Passo 5
Agora, vamos separar a fração em partes mais simples. Podemos escrever:
Isso é a essência das frações parciais, onde A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Expandindo o lado direito:
Organizando os termos:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de
em ambos os lados da equação:
Para
:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 8
Então, temos:
Agora, a integral fica separada em duas partes mais simples:
Passo 9
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira parte:
Segunda parte:
Para , dividimos em duas integrais:
Para
A primeira integral aqui pode ser resolvida por substituição, e a segunda usa uma fórmula de integração padrão.
Passo 10
Resolvendo
:
Seja , então
ou
.
Seja
Então:
Resolvendo
:
Usamos a fórmula:
Usamos a fórmula:
Aqui,
, então:
Passo 11
Juntando todas as partes:
Simplificando:
Resposta
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Calcular o volume da parte da esfera
que está entre os planos
e
.