Calcule as seguintes integrais, aplicando o Método de Integração por Frações Parciais:

Passo 1

Beleza, temos a integral . O tema aqui é Integração por Frações Parciais, que a gente vai usar para quebrar a expressão complicada em partes mais fáceis de integrar. Vamos precisar fatorar o denominador e ajustar o numerador pra facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o denominador . Não dá pra fatorar diretamente com números inteiros, então vamos completar o quadrado pra reescrever essa expressão.
Isso ajuda a simplificar a integral mais pra frente.

Passo 3

Agora, a gente tem a integral em:
Vamos fazer uma substituição pra deixar tudo em termos de . Assim, e .

Passo 4

Substituindo na integral:
Vamos expandir o numerador:
Então, o numerador fica:
Portanto, a integral vira:

Passo 5

Agora, vamos separar a fração em partes mais simples. Podemos escrever:
Isso é a essência das frações parciais, onde A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por , temos:
Expandindo o lado direito:
Organizando os termos:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de em ambos os lados da equação:
Para :
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 8

Então, temos:
Agora, a integral fica separada em duas partes mais simples:

Passo 9

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira parte:
Segunda parte:
Para , dividimos em duas integrais:
A primeira integral aqui pode ser resolvida por substituição, e a segunda usa uma fórmula de integração padrão.

Passo 10

Resolvendo :
Seja , então ou .
Então:
Resolvendo :
Usamos a fórmula:
Aqui, , então:

Passo 11

Juntando todas as partes:
Simplificando:

Resposta

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