Calcule as seguintes integrais, aplicando o Método de Integração por Frações Parciais: integral x^2-3 x+6(x^2-4 x+6)^2 d x

Passo 1

Beleza, temos a integral . O tema aqui é Integração por Frações Parciais, que a gente vai usar para quebrar a expressão complicada em partes mais fáceis de integrar. Vamos precisar fatorar o denominador e ajustar o numerador pra facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o denominador x^2 - 4x + 6 = (x^2 - 4x + 4) + 2 = (x - 2)^2 + 2 . Não dá pra fatorar diretamente com números inteiros, então vamos completar o quadrado pra reescrever essa expressão.
Isso ajuda a simplificar a integral mais pra frente.

Passo 3

Agora, a gente tem a integral em:
integral x^2 - 3x + 6((x - 2)^2 + 2)^2 , dx
Vamos fazer uma substituição pra deixar tudo em termos de . Assim, e .

Passo 4

Substituindo na integral:
integral (u + 2)^2 - 3(u + 2) + 6(u^2 + 2)^2 , du
Vamos expandir o numerador:
(u + 2)^2 = u^2 + 4u + 4
-3(u + 2) = -3u -6
Então, o numerador fica:
u^2 + 4u + 4 -3u -6 +6 = u^2 + u +4
Portanto, a integral vira:
integral u^2 + u +4(u^2 + 2)^2 , du

Passo 5

Agora, vamos separar a fração em partes mais simples. Podemos escrever:
u^2 + u +4(u^2 + 2)^2 = A u + Bu^2 + 2 + C u + D(u^2 + 2)^2
Isso é a essência das frações parciais, onde A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por u^2 + u +4 = (A u + B)(u^2 + 2) + (C u + D) , temos:
A u^3 + 2A u + B u^2 + 2B + C u + D
Expandindo o lado direito:
A u^3 + B u^2 + (2A + C)u + (2B + D)
Organizando os termos:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de A = 0 em ambos os lados da equação:
Para B = 1 :
2A + C = 1 Rightarrow C = 1
Para 2B + D = 4 Rightarrow D = 4 - 2(1) = 2 :
Para :
Para o termo constante:

Passo 8

Então, temos:
u^2 + u +4(u^2 + 2)^2 = 0 cdot u +1u^2 + 2 + 1 cdot u +2(u^2 + 2)^2 = 1u^2 + 2 + u +2(u^2 + 2)^2
Agora, a integral fica separada em duas partes mais simples:
integral 1u^2 + 2 , du + integral u +2(u^2 + 2)^2 , du

Passo 9

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira parte:
integral 1u^2 + 2 , du = 1raiz2 arctan(uraiz2) + C
Segunda parte:
Para integral u(u^2 + 2)^2 , du + 2 integral 1(u^2 + 2)^2 , du , dividimos em duas integrais:
A primeira integral aqui pode ser resolvida por substituição, e a segunda usa uma fórmula de integração padrão.

Passo 10

Resolvendo integral u(u^2 + 2)^2 , du = 12 integral 1v^2 , dv = -12v + C = -12(u^2 + 2) + C :
Seja integral 1(u^2 + a^2)^2 , du = u2a^2(u^2 + a^2)) + 12a^3 arctan(ua) + C , então 2 ( u4(u^2 + 2) + 14raiz2 arctan(uraiz2) ) = u2(u^2 + 2) + 12raiz2 arctan(uraiz2) ou .
Então:
Resolvendo :
Usamos a fórmula:
Aqui, , então:

Passo 11

Juntando todas as partes:
integral x^2 - 3x + 6(x^2 -4x +6)^2 , dx = 1raiz2 arctan(uraiz2) - 12(u^2 + 2) + u2(u^2 + 2) + 12raiz2 arctan(uraiz2) + C
Simplificando:
32raiz2 arctan(x -2raiz2) + x -22(x^2 -4x +6) + C

Resposta

integral x^2 - 3x + 6(x^2 -4x +6)^2 , dx = 32raiz2 arctan(x -2raiz2) + x -22(x^2 -4x +6) + C

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