Calcule:
integral e^x raiz1+e^x d x=23 raiz(1+e^x)^3+k

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente usando uma técnica de substituição para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável nova, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Essa escolha nos ajuda porque a derivada de em relação a é direta e aparece na nossa integral original.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar du = ddx(1 + e^x) , dx = e^x , dx em relação a para encontrar . Temos:
Isso é ótimo porque está exatamente presente na nossa integral original.

Passo 4

Substituindo integral e^x raiz1+e^x , dx = integral raizu , du e na integral original, ela fica muito mais simples:
Agora, nossa tarefa é apenas integrar em relação a .

Passo 5

Vamos calcular a integral de integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos 23 u^3/2 + C = 23 (1 + e^x)^3/2 + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

integral e^x raiz1+e^x , dx = 23 raiz(1+e^x)^3 + C

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