Na igualdade abaixo, as constantes A e B valem respectivamente: integral 1(x-1)(x+1) d x=integral(Ax-1+Bx+1) d x. (a) 12 e 12
© 12 e-12 (b) -12 e -12
(d) -12 e 12

Passo 1

Então, temos uma integral que precisa ser resolvida usando frações parciais. O enunciado nos dá a seguinte igualdade:
integral 1(x-1)(x+1) dx = integral(Ax-1+Bx+1) dx
Aqui, nosso objetivo é encontrar os valores das constantes e . Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor uma fração complexa em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar os numeradores das duas expressões. Já que as frações devem ser iguais para todos os valores de 1(x-1)(x+1) = Ax-1 + Bx+1 , podemos escrever:
1 = A(x+1) + B(x-1)
Para eliminar os denominadores, multiplicamos ambos os lados por :

Passo 3

Agora, expandimos os termos no lado direito da equação:
1 = A x + A + B x - B
Vamos agrupar os termos semelhantes:
1 = (A + B)x + (A - B)

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de A + B = 0 A - B = 1 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar A = -B em função de - B - B = 1 -2B = 1 B = -12 :
A = -(-12) = 12
Substituindo na segunda equação:
Agora, usando :

Resposta

As constantes e valem respectivamente e . Portanto, a opção correta é a © e .

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