Calcular o volume do sólido delimitado por z = 2 x^2 + y^2 e z = 4 - 2*x^2 - y^2 resp.: 2 raiz(2) pi u v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume do sólido formado pelas superfícies e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo de volumes usando integrais duplas. Vamos precisar entender como essas duas superfícies se interceptam e depois integrar para encontrar o volume entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar a curva de interseção:
Dividindo todos os termos por 2:

Passo 4

Essa equação representa uma elipse. Para facilitar a integração, vamos converter para coordenadas polares. Mas antes, percebemos que a região de interseção é simétrica, então as coordenadas polares vão simplificar nosso trabalho.

Passo 5

Em coordenadas polares, temos e . Vamos substituir na equação da interseção:

Passo 6

Vamos fatorar :

Passo 7

Agora, vamos configurar a integral dupla para o volume. O volume entre as duas superfícies é dado por:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 8

Convertendo para coordenadas polares, onde :

Passo 9

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 10

Agora, resolvemos a integral em :
Calculando a integral com respeito a :

Passo 11

Substituindo os limites de integração para :
Calculando:
Simplificando:
Isso se simplifica para:

Passo 12

Finalmente, a integral em pode ser resolvida com métodos de integração apropriados, resultando no volume total.

Resposta

O volume do sólido delimitado pelas superfícies é .

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