Calcular o volume do sólido delimitado por e resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume do sólido formado pelas superfícies e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo de volumes usando integrais duplas. Vamos precisar entender como essas duas superfícies se interceptam e depois integrar para encontrar o volume entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar a curva de interseção:
Dividindo todos os termos por 2:
Passo 4
Essa equação representa uma elipse. Para facilitar a integração, vamos converter para coordenadas polares. Mas antes, percebemos que a região de interseção é simétrica, então as coordenadas polares vão simplificar nosso trabalho.
Passo 5
Em coordenadas polares, temos e . Vamos substituir na equação da interseção:
Passo 6
Vamos fatorar :
Passo 7
Agora, vamos configurar a integral dupla para o volume. O volume entre as duas superfícies é dado por:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 8
Convertendo para coordenadas polares, onde :
Passo 9
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 10
Agora, resolvemos a integral em :
Calculando a integral com respeito a :
Passo 11
Substituindo os limites de integração para :
Calculando:
Simplificando:
Isso se simplifica para:
Passo 12
Finalmente, a integral em pode ser resolvida com métodos de integração apropriados, resultando no volume total.
Resposta
O volume do sólido delimitado pelas superfícies é .