Encontre a área da regiāo que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva
er
resp.
resp.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região que está dentro da curva
e fora da curva
. Isso envolve conhecimentos de geometria em coordenadas polares e cálculo de áreas usando integrais.
Passo 2
Vamos começar identificando as curvas envolvidas:
-
Curva
: - Esta é uma circunferência com centro no ponto
e raio 2.
- Esta é uma circunferência com centro no ponto
-
Curva
: - Esta é uma circunferência com centro na origem e raio 2.
Passo 3
Para encontrar a área desejada, precisamos identificar os pontos de interseção dessas duas curvas. Isso acontece quando as duas equações são iguais:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área que está dentro de
e fora de
. A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Onde:
-
(curva interna) -
(curva externa) -
-
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Utilizamos a identidade trigonométrica para
:
Substituindo na integral:
Simplificando mais:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Calculando os limites:
Sabemos que
e
, então:
Simplificando:
Passo 8
No entanto, como as integrais de
a
nos dão a área total, porém queremos apenas a área dentro de
e fora de
, que é simétrica em relação ao eixo
. Portanto, a área correta é:
Resposta
A área da região desejada é
.