Encontre a área da regiāo que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva er
resp.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região que está dentro da curva e fora da curva . Isso envolve conhecimentos de geometria em coordenadas polares e cálculo de áreas usando integrais.
Passo 2
Vamos começar identificando as curvas envolvidas:
Curva :
Esta é uma circunferência com centro no ponto e raio 2.
Curva :
Esta é uma circunferência com centro na origem e raio 2.
Passo 3
Para encontrar a área desejada, precisamos identificar os pontos de interseção dessas duas curvas. Isso acontece quando as duas equações são iguais:
Resolvendo para :
Passo 4
Agora, vamos calcular a área que está dentro de e fora de . A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Onde:
(curva interna)
(curva externa)
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Utilizamos a identidade trigonométrica para :
Substituindo na integral:
Simplificando mais:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Calculando os limites:
Sabemos que e , então:
Simplificando:
Passo 8
No entanto, como as integrais de a nos dão a área total, porém queremos apenas a área dentro de e fora de , que é simétrica em relação ao eixo . Portanto, a área correta é: