Encontre a área da regiāo que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva
er
resp.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região que está dentro da curva e fora da curva . Isso envolve conhecimentos de geometria em coordenadas polares e cálculo de áreas usando integrais.

Passo 2

Vamos começar identificando as curvas envolvidas:
  1. Curva :
    • Esta é uma circunferência com centro no ponto e raio 2.
  2. Curva :
    • Esta é uma circunferência com centro na origem e raio 2.

Passo 3

Para encontrar a área desejada, precisamos identificar os pontos de interseção dessas duas curvas. Isso acontece quando as duas equações são iguais:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a área que está dentro de e fora de . A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Onde:
  • (curva interna)
  • (curva externa)

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:

Passo 6

Utilizamos a identidade trigonométrica para :
Substituindo na integral:
Simplificando mais:

Passo 7

Integrando termo a termo:
Calculando os limites:
Sabemos que e , então:
Simplificando:

Passo 8

No entanto, como as integrais de a nos dão a área total, porém queremos apenas a área dentro de e fora de , que é simétrica em relação ao eixo . Portanto, a área correta é:

Resposta

A área da região desejada é .

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Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
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