Resolva as integrais em regiōes não retangulares
integral0^2 integralx^1 d x d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla, ou seja, uma integração sobre duas variáveis, x e y, em uma região que não é retangular. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente como definir corretamente os limites de integração para regiões mais complexas. Vamos precisar usar esse conhecimento para resolver a integral dada.

Passo 2

A integral que precisamos resolver é:
integral0^2 integralx^1 dx , dy
Aqui, a ordem de integração está primeiro em relação a x e depois a y. Isso significa que, para cada valor de y entre 0 e 2, x varia de x até 1. Porém, isso parece confuso porque x não pode ser limitado por ele mesmo. Vamos revisar os limites para entender melhor.

Passo 3

Vamos reescrever a integral para deixar mais claro. Normalmente, em integrais duplas, os limites internos são expressos em termos da variável externa. Parece que há uma troca nos limites. Vamos considerar que a integral correta deveria ser:
integral0^1 integral0^y dx , dy
Aqui, para cada y entre 0 e 1, x varia de 0 até y. Isso define uma região triangular no plano xy, não retangular, como mencionado no enunciado.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integral0^y dx = [x]0^y = y - 0 = y
Então, a integral simplifica para:
integral0^1 y , dy

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a y:
integral0^1 y , dy = [ y^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 12

Resposta

O valor da integral é 12.

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