Resolva as integrais em regiōes não retangulares
Passo 1
Primeiro, vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla, ou seja, uma integração sobre duas variáveis,
e
, em uma região que não é retangular. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente como definir corretamente os limites de integração para regiões mais complexas. Vamos precisar usar esse conhecimento para resolver a integral dada.
Passo 2
A integral que precisamos resolver é:
Aqui, a ordem de integração está primeiro em relação a
e depois a
. Isso significa que, para cada valor de
entre 0 e 2,
varia de
até 1. Porém, isso parece confuso porque
não pode ser limitado por ele mesmo. Vamos revisar os limites para entender melhor.
Passo 3
Vamos reescrever a integral para deixar mais claro. Normalmente, em integrais duplas, os limites internos são expressos em termos da variável externa. Parece que há uma troca nos limites. Vamos considerar que a integral correta deveria ser:
Aqui, para cada
entre 0 e 1,
varia de 0 até
. Isso define uma região triangular no plano
, não retangular, como mencionado no enunciado.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Então, a integral simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.