Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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-
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para
? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções
; c) Resolva as EDOs para
e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação da difusão que é dada por:
Esse tipo de equação faz parte da matéria de Equações Diferenciais Parciais, mais especificamente da Equação de Difusão. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier, já que as condições de contorno e a condição inicial sugerem uma solução que pode ser expressa como uma soma de funções trigonométricas.
Passo 2
a) Qual forma devemos utilizar para
? Justifique sua resposta.
Vamos usar a forma de separação de variáveis, ou seja, assumir que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Essa forma é escolhida porque facilita a resolução da equação ao separar as variáveis, permitindo resolver duas equações ordinárias separadas.
Passo 3
b) Determine as equações que regem as funções
.
Primeiro, substituímos
na equação da difusão:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação. Assim, temos duas equações:
Para
:
Para
:
Essas são as equações que regem
e
. As soluções dessas equações nos darão as funções necessárias para construir a solução geral.
Passo 4
c) Resolva as EDOs para
e determine as constantes de integração.
Vamos resolver a equação para
:
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com solução geral:
Onde
é a constante de integração. Para determinar
, precisamos considerar as condições de contorno. Usando as condições
e
, chegamos aos valores próprios
, onde
é um número inteiro positivo.
Assim, a solução para
fica:
Passo 5
d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
A solução geral é uma soma infinita das soluções encontradas para cada
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Comparando os termos, vemos que apenas
e todos os outros
. Portanto, a solução final é:
Resposta
A solução da equação de difusão dada é:
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Encontre a área da regiāo que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva
er
resp.
resp.
Calcular o volume do sólido delimitado por
e
resp.:
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Com. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.