Resolva a equação da difusão partial upartial t-D partial^2 upartial x^2=0, sujeita às condições:
  1. u(0, t)=0
  2. u(L, t)=0
  3. u(x, 0)=sin (pi xL) ; x in(0, L)
    Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x, t) ? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções bn(t); c) Resolva as EDOs para bn(t) e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da difusão que é dada por:
partial upartial t - D partial^2 upartial x^2 = 0
Esse tipo de equação faz parte da matéria de Equações Diferenciais Parciais, mais especificamente da Equação de Difusão. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier, já que as condições de contorno e a condição inicial sugerem uma solução que pode ser expressa como uma soma de funções trigonométricas.

Passo 2

a) Qual forma devemos utilizar para u(x, t) = X(x) cdot T(t) ? Justifique sua resposta.
Vamos usar a forma de separação de variáveis, ou seja, assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Essa forma é escolhida porque facilita a resolução da equação ao separar as variáveis, permitindo resolver duas equações ordinárias separadas.

Passo 3

b) Determine as equações que regem as funções X(x) cdot dT(t)dt - D T(t) cdot d^2X(x)dx^2 = 0 .
Primeiro, substituímos 1T(t) dT(t)dt = D 1X(x) d^2X(x)dx^2 = -lambda na equação da difusão:
d^2X(x)dx^2 + lambdaD X(x) = 0
Dividindo ambos os lados por dT(t)dt + lambda T(t) = 0 :
Aqui, é uma constante de separação. Assim, temos duas equações:
Para :
Para :
Essas são as equações que regem e . As soluções dessas equações nos darão as funções necessárias para construir a solução geral.

Passo 4

c) Resolva as EDOs para dT(t)dt + lambda T(t) = 0 e determine as constantes de integração.
Vamos resolver a equação para T(t) = C e^-lambda t :
Tn(t) = Cn e^-D ( npiL )^2 t
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com solução geral:
Onde é a constante de integração. Para determinar , precisamos considerar as condições de contorno. Usando as condições e , chegamos aos valores próprios , onde é um número inteiro positivo.
Assim, a solução para fica:

Passo 5

d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
A solução geral é uma soma infinita das soluções encontradas para cada u(x, t) = sumn=1^infty Cn sin( npi xL ) e^-D ( npiL )^2 t :
sin( pi xL ) = sumn=1^infty Cn sin( npi xL )
Agora, aplicamos a condição inicial u(x, t) = sin( pi xL ) e^-D ( piL )^2 t :
Comparando os termos, vemos que apenas e todos os outros . Portanto, a solução final é:

Resposta

A solução da equação de difusão dada é:
u(x, t) = sin( pi xL ) e^-D ( piL )^2 t

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