Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da difusão que é dada por:
Esse tipo de equação faz parte da matéria de Equações Diferenciais Parciais, mais especificamente da Equação de Difusão. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier, já que as condições de contorno e a condição inicial sugerem uma solução que pode ser expressa como uma soma de funções trigonométricas.

Passo 2

a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta.
Vamos usar a forma de separação de variáveis, ou seja, assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Essa forma é escolhida porque facilita a resolução da equação ao separar as variáveis, permitindo resolver duas equações ordinárias separadas.

Passo 3

b) Determine as equações que regem as funções .
Primeiro, substituímos na equação da difusão:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação. Assim, temos duas equações:
Para :
Para :
Essas são as equações que regem e . As soluções dessas equações nos darão as funções necessárias para construir a solução geral.

Passo 4

c) Resolva as EDOs para e determine as constantes de integração.
Vamos resolver a equação para :
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com solução geral:
Onde é a constante de integração. Para determinar , precisamos considerar as condições de contorno. Usando as condições e , chegamos aos valores próprios , onde é um número inteiro positivo.
Assim, a solução para fica:

Passo 5

d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
A solução geral é uma soma infinita das soluções encontradas para cada :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Comparando os termos, vemos que apenas e todos os outros . Portanto, a solução final é:

Resposta

A solução da equação de difusão dada é:

Exercícios relacionados

Encontre a área da regiāo que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva
er
resp.
Calcular o volume do sólido delimitado por e resp.:
Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Com . Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.