Beleza, vamos resolver a integral dupla . A região é delimitada por três curvas: , e . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integração dupla, para encontrar o valor dessa integral. Precisaremos entender como essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:
Então,
áéé
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região :
A curva é uma hipérbole.
A reta é uma linha diagonal que corta a hipérbole no ponto .
A linha vertical limita a região pela direita.
Então, está entre e , abaixo de e acima de .
Passo 4
Para configurar a integral dupla, decidimos integrar primeiro em e depois em . Assim, para cada entre 4 e 8, varia de até . A integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Passo 6
Agora, a integral reduzida é em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 7
Vamos avaliar os limites de integração:
Para :
Para :
Agora, subtraímos o valor em do valor em :
Passo 8
A integral dupla nos dá o valor . No entanto, como estamos calculando uma área ponderada por , que é sempre positivo no intervalo considerado, devemos considerar o valor absoluto: