Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR x^2 , dA. A região R é delimitada por três curvas: y = 16x, y = x e x = 8. Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integração dupla, para encontrar o valor dessa integral. Precisaremos entender como essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas y = 16x e y = x. Para isso, igualamos as duas expressões:
x = 16x
Multiplicando ambos os lados por x para eliminar a fração:
x^2 = 16
Então,
x = raiz16 = 4 (considerando apenas o valor positivo, já que $x = 8$ também é positivo) áéé
Portanto, o ponto de interseção é (4, 4).
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região R:
A curva y = 16x é uma hipérbole.
A reta y = x é uma linha diagonal que corta a hipérbole no ponto (4, 4).
A linha vertical x = 8 limita a região pela direita.
Então, R está entre x = 4 e x = 8, abaixo de y = 16x e acima de y = x.
Passo 4
Para configurar a integral dupla, decidimos integrar primeiro em y e depois em x. Assim, para cada x entre 4 e 8, y varia de y = x até y = 16x. A integral fica:
integralx=4^8 integraly=x^16x x^2 , dy , dx
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integraly=x^16x x^2 , dy = x^2 [ y ]x^16x = x^2 ( 16x - x ) = x^2 ( 16 - x^2x ) = x (16 - x^2)
Agora, subtraímos o valor em x = 4 do valor em x = 8:
-512 - 64 = -576
Passo 8
A integral dupla nos dá o valor -576. No entanto, como estamos calculando uma área ponderada por x^2, que é sempre positivo no intervalo considerado, devemos considerar o valor absoluto:
integral duplaR x^2 , dA = 576
Resposta
A integral dupla integral duplaR x^2 , dA vale 576.