Resolva a integral onde R é a região limitada por

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . A região é delimitada por três curvas: , e . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integração dupla, para encontrar o valor dessa integral. Precisaremos entender como essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:
Então,
áéé
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região :
  • A curva é uma hipérbole.
  • A reta é uma linha diagonal que corta a hipérbole no ponto .
  • A linha vertical limita a região pela direita.
Então, está entre e , abaixo de e acima de .

Passo 4

Para configurar a integral dupla, decidimos integrar primeiro em e depois em . Assim, para cada entre 4 e 8, varia de até . A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Agora, a integral reduzida é em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
Então,

Passo 7

Vamos avaliar os limites de integração:
Para :
Para :
Agora, subtraímos o valor em do valor em :

Passo 8

A integral dupla nos dá o valor . No entanto, como estamos calculando uma área ponderada por , que é sempre positivo no intervalo considerado, devemos considerar o valor absoluto:

Resposta

A integral dupla vale 576.

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Calcular o volume do sólido delimitado por e resp.:
Encontre a área da regiāo que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva
er
resp.