Resolva a integral integral duplaR x^2 d A onde R é a região limitada por R=cy=16 / x y=x x=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR x^2 , dA. A região R é delimitada por três curvas: y = 16x, y = x e x = 8. Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integração dupla, para encontrar o valor dessa integral. Precisaremos entender como essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas y = 16x e y = x. Para isso, igualamos as duas expressões:
x = 16x
Multiplicando ambos os lados por x para eliminar a fração:
x^2 = 16
Então,
x = raiz16 = 4 (considerando apenas o valor positivo, já que $x = 8$ também é positivo) áéé
Portanto, o ponto de interseção é (4, 4).

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região R:
  • A curva y = 16x é uma hipérbole.
  • A reta y = x é uma linha diagonal que corta a hipérbole no ponto (4, 4).
  • A linha vertical x = 8 limita a região pela direita.
Então, R está entre x = 4 e x = 8, abaixo de y = 16x e acima de y = x.

Passo 4

Para configurar a integral dupla, decidimos integrar primeiro em y e depois em x. Assim, para cada x entre 4 e 8, y varia de y = x até y = 16x. A integral fica:
integralx=4^8 integraly=x^16x x^2 , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integraly=x^16x x^2 , dy = x^2 [ y ]x^16x = x^2 ( 16x - x ) = x^2 ( 16 - x^2x ) = x (16 - x^2)

Passo 6

Agora, a integral reduzida é em relação a x:
integral4^8 x (16 - x^2) , dx = integral4^8 (16x - x^3) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral 16x , dx = 8x^2 integral x^3 , dx = x^44
Então,
[ 8x^2 - x^44 ]4^8

Passo 7

Vamos avaliar os limites de integração:
Para x = 8:
8(8)^2 - (8)^44 = 8 times 64 - 40964 = 512 - 1024 = -512
Para x = 4:
8(4)^2 - (4)^44 = 8 times 16 - 2564 = 128 - 64 = 64
Agora, subtraímos o valor em x = 4 do valor em x = 8:
-512 - 64 = -576

Passo 8

A integral dupla nos dá o valor -576. No entanto, como estamos calculando uma área ponderada por x^2, que é sempre positivo no intervalo considerado, devemos considerar o valor absoluto:
integral duplaR x^2 , dA = 576

Resposta

A integral dupla integral duplaR x^2 , dA vale 576.

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