Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pela parábola
e pela reta
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume do sólido formado ao girar, em torno do eixo dos
, a região limitada pela parábola
e pela reta
.
Para resolver isso, vamos usar o método dos anéis (washers), que é útil quando temos duas funções que delimitam a região a ser girada.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola e a reta, pois eles vão determinar os limites de integração. Igualamos as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as soluções são:
Portanto, os pontos de interseção ocorrem em
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo
. Para isso, escolhemos um ponto entre -3 e 1, por exemplo,
:
Para a parábola:
Para a reta:
Como
, a parábola está acima da reta nesse intervalo. Portanto, usamos a fórmula do volume com a função da parábola como
e a reta como
.
Passo 4
Aplicando o método dos anéis (washers), a fórmula para o volume
é:
Onde:
-
(parábola) -
(reta) -
e são os limites de integração
Passo 5
Substituindo as funções na fórmula:
Passo 6
Vamos simplificar as expressões dentro da integral:
Calculando
:
Calculando
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Vamos combinar os termos semelhantes:
Simplificando:
Podemos tirar o fator
para fora da integral:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de
a
:
Calculando os valores:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido formado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Considere a função
definida
.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
Considere a função
definida por
.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região entre o gráfico de
e o eixo dos
, de
.
A região
, delimitada pela parábola
e pelas retas
e
gira em torno da reta
. Determine
volume do sólido de revolução obtido.