Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região limitada pela parábola e pela reta

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume do sólido formado ao girar, em torno do eixo dos , a região limitada pela parábola e pela reta .
Para resolver isso, vamos usar o método dos anéis (washers), que é útil quando temos duas funções que delimitam a região a ser girada.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola e a reta, pois eles vão determinar os limites de integração. Igualamos as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as soluções são:
Portanto, os pontos de interseção ocorrem em e .

Passo 3

Agora, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo . Para isso, escolhemos um ponto entre -3 e 1, por exemplo, :
Para a parábola:
Para a reta:
Como , a parábola está acima da reta nesse intervalo. Portanto, usamos a fórmula do volume com a função da parábola como e a reta como .

Passo 4

Aplicando o método dos anéis (washers), a fórmula para o volume é:
Onde:
  • (parábola)
  • (reta)
  • e são os limites de integração

Passo 5

Substituindo as funções na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar as expressões dentro da integral:
Calculando :
Calculando :
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Vamos combinar os termos semelhantes:
Simplificando:
Podemos tirar o fator para fora da integral:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de a :
Calculando os valores:
Para :
Para :
Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido formado é unidades cúbicas.

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