A região , delimitada pela parábola e pelas retas e gira em torno da reta . Determine volume do sólido de revolução obtido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma região delimitada pela parábola e pelas retas , e . A ideia é girar essa região em torno da reta e calcular o volume do sólido formado. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis), que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar a região . A parábola abre para a direita e está deslocada 1 unidade para a direita do eixo y. As retas e são horizontais e limitam a região verticalmente, enquanto é uma reta vertical que delimita a região à esquerda. Vamos identificar os limites de integração: varia de -2 a 2.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos anéis. Quando giramos a região em torno de , cada fatia horizontal da região forma um anel. A área desse anel é a diferença entre a área do disco maior e do disco menor.
A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
  • é o raio externo (distância do limite externo ao eixo de rotação).
  • é o raio interno (distância do limite interno ao eixo de rotação).

Passo 4

Vamos identificar e :
  • Raio Externo : É a distância da parábola até a reta .
  • Raio Interno : É a distância da reta até a própria reta , que na verdade é zero. Porém, na nossa configuração, não há outra curva interna além de , então .
Mas, percebemos que realmente estamos apenas girando a região limitada pela parábola e as retas horizontais em torno de . Então, nosso é constante e igual a , e não há adicional.

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do volume:
Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:

Passo 6

Calculamos a integral:
Calculando cada termo para e :
Para :
Para :
Subtraindo:
Convertendo para denominador comum:
Somando:
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido de revolução obtido é unidades cúbicas.

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Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região entre o gráfico de e o eixo dos , de .
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região limitada pela parábola e pela reta
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta , da região limitada por .
A região , limitada pela curva , o eixo dos e as retas e , gira em torno do eixo dos . Determine o volume do sólido de revolução gerado. Faça um esboço do sólido.