A região
, delimitada pela parábola
e pelas retas
e
gira em torno da reta
. Determine
volume do sólido de revolução obtido.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma região
delimitada pela parábola
e pelas retas
,
e
. A ideia é girar essa região em torno da reta
e calcular o volume do sólido formado. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis), que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos visualizar a região
. A parábola
abre para a direita e está deslocada 1 unidade para a direita do eixo y. As retas
e
são horizontais e limitam a região verticalmente, enquanto
é uma reta vertical que delimita a região à esquerda. Vamos identificar os limites de integração:
varia de -2 a 2.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos anéis. Quando giramos a região em torno de
, cada fatia horizontal da região forma um anel. A área desse anel é a diferença entre a área do disco maior e do disco menor.
A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
-
é o raio externo (distância do limite externo ao eixo de rotação). -
é o raio interno (distância do limite interno ao eixo de rotação).
Passo 4
Vamos identificar
e
:
- Raio Externo
: É a distância da parábola até a reta .
- Raio Interno
: É a distância da reta até a própria reta , que na verdade é zero. Porém, na nossa configuração, não há outra curva interna além de , então .
Mas, percebemos que realmente estamos apenas girando a região limitada pela parábola e as retas horizontais em torno de
. Então, nosso
é constante e igual a
, e não há
adicional.
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 6
Calculamos a integral:
Calculando cada termo para
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Convertendo para denominador comum:
Somando:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido de revolução obtido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região entre o gráfico de
e o eixo dos
, de
.
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pela parábola
e pela reta
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada por
.
A região
, limitada pela curva
, o eixo dos
e as retas
e
, gira em torno do eixo dos
. Determine o volume do sólido de revolução gerado. Faça um esboço do sólido.