Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região entre o gráfico de e o eixo dos , de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que surge quando giramos a região entre o gráfico de e o eixo dos , no intervalo de a , ao redor do eixo dos . Isso envolve um conceito de cálculo chamado volume de sólidos por rotação, usando o método dos discos. Então, vamos precisar entender integrais e como aplicá-las para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como o método dos discos funciona. Quando giramos uma curva ao redor do eixo dos , o volume do sólido formado pode ser calculado pela fórmula:
Aqui, é a função que define a curva, e representa a área do círculo de cada disco em cada ponto . No nosso caso, , e os limites de integração são de a .

Passo 3

Agora, vamos substituir e os limites na fórmula:
Nosso próximo passo é resolver essa integral para encontrar o volume.

Passo 4

Para integrar , é útil usar uma identidade trigonométrica que simplifica a expressão. A identidade que vamos usar é:
Substituindo essa identidade na nossa integral:

Passo 5

Vamos simplificar a integral dividindo cada termo por 2:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites e :
Para :
Para :
Subtraindo os dois valores:
Multiplicando pelo fator à frente:

Resposta

O volume do sólido gerado é .

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Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região limitada pela parábola e pela reta
Considere a função definida .
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
A região , delimitada pela parábola e pelas retas e gira em torno da reta . Determine volume do sólido de revolução obtido.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta , da região limitada por .