Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região entre o gráfico de
e o eixo dos
, de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que surge quando giramos a região entre o gráfico de
e o eixo dos
, no intervalo de
a
, ao redor do eixo dos
. Isso envolve um conceito de cálculo chamado volume de sólidos por rotação, usando o método dos discos. Então, vamos precisar entender integrais e como aplicá-las para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como o método dos discos funciona. Quando giramos uma curva ao redor do eixo dos
, o volume do sólido formado pode ser calculado pela fórmula:
Aqui,
é a função que define a curva, e
representa a área do círculo de cada disco em cada ponto
. No nosso caso,
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e os limites na fórmula:
Nosso próximo passo é resolver essa integral para encontrar o volume.
Passo 4
Para integrar
, é útil usar uma identidade trigonométrica que simplifica a expressão. A identidade que vamos usar é:
Substituindo essa identidade na nossa integral:
Passo 5
Vamos simplificar a integral dividindo cada termo por 2:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo os dois valores:
Multiplicando pelo fator à frente:
Resposta
O volume do sólido gerado é
.
Exercícios relacionados
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pela parábola
e pela reta
Considere a função
definida
.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
A região
, delimitada pela parábola
e pelas retas
e
gira em torno da reta
. Determine
volume do sólido de revolução obtido.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada por
.