Considere a função f: R -> R definida por f(x) = 4 x / (x^2 + 1).
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função . Neste exercício, vamos encontrar as assíntotas horizontais e verticais dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Elas ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero, já que não podemos dividir por zero. Então, vamos encontrar os valores de que fazem .
Para encontrar essas raízes:
Isso nos dá:
Como estamos trabalhando com funções reais ( ), os valores imaginários não afetam as assíntotas verticais. Portanto, não há assíntotas verticais para esta função.

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Elas descrevem o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo. Para encontrar essas assíntotas, comparamos os graus do polinômio no numerador e no denominador.
Na fun��ão :
  • O grau do numerador é 1 (porque o maior expoente de no numerador é 1).
  • O grau do denominador é 2 (porque o maior expoente de no denominador é 2).
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é y = 0.

Resposta

A função não possui assíntotas verticais e possui uma assíntota horizontal em .

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