Considere a função definida por .
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função . O que a gente precisa aqui é usar o teste da segunda derivada para descobrir se os pontos críticos dessa função são máximos ou mínimos. Além disso, vamos identificar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função e analisar seus sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Mas como a função é um polinômio, a derivada existe em todo lugar, então vamos igualar a derivada primeira a zero.
Vamos calcular a derivada primeira de :
Agora, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de que são pontos críticos.

Passo 3

Para resolver , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante ( ):
Então, as raízes são:
Portanto, os pontos críticos são:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. Primeiro, calculamos a segunda derivada de :

Passo 5

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos e :
Para :
Como , isso significa que tem um mínimo em .
Para :
Como , isso indica que tem um máximo em .

Passo 6

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos encontrar onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde :
Então, é um ponto de inflexão.
Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade:
  • Para , escolha um valor, por exemplo, :
  • Para , escolha :

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • é um mínimo local.
  • é um máximo local.
Além disso, a função possui um ponto de inflexão em , com os seguintes intervalos de concavidade:
  • Concava para baixo em .
  • Concava para cima em .

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b) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
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