Considere a função
definida por
.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função
. O que a gente precisa aqui é usar o teste da segunda derivada para descobrir se os pontos críticos dessa função são máximos ou mínimos. Além disso, vamos identificar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função e analisar seus sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Mas como a função é um polinômio, a derivada existe em todo lugar, então vamos igualar a derivada primeira a zero.
Vamos calcular a derivada primeira de
:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
que são pontos críticos.
Passo 3
Para resolver
, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Então, as raízes são:
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos
e
:
Para
:
Como
, isso significa que
tem um mínimo em
.
Para
:
Como
, isso indica que
tem um máximo em
.
Passo 6
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos encontrar onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
:
Então,
é um ponto de inflexão.
Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade:
- Para
, escolha um valor, por exemplo, :
- Para
, escolha :
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
é um mínimo local. -
é um máximo local.
Além disso, a função possui um ponto de inflexão em
, com os seguintes intervalos de concavidade:
- Concava para baixo em
. - Concava para cima em
.
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definida por
.
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.
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