Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2, da região limitada por y = 3 + x^2, x = -2, x = 2 e y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar, em torno da reta , a região limitada por , , e .
O que precisamos saber:
  • Cálculo Integral: Para encontrar volumes de sólidos de rotação.
  • Método dos Discos/Lavadoras: Uma técnica para calcular volumes quando giramos regiões em torno de uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual método usar. Como estamos girando em torno de uma reta horizontal ( ) e temos funções em termos de , o método das lavadoras é o mais adequado.
O que é o Método das Lavadoras:
É uma técnica que envolve calcular a diferença entre as áreas de dois discos (um externo e outro interno) para cada fatia do sólido.

Passo 3

Vamos determinar os raios externo e interno das lavadoras.
  • Raio Externo ( ): Distância da curva superior ( ) até a reta de rotação ( ).
  • Raio Interno ( ): Como a região é limitada por , o raio interno é zero.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para o volume usando o método das lavadoras. A fórmula é:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Como a função é par, podemos simplificar:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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