Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar, em torno da reta
, a região limitada por
,
,
e
.
O que precisamos saber:
- Cálculo Integral: Para encontrar volumes de sólidos de rotação.
- Método dos Discos/Lavadoras: Uma técnica para calcular volumes quando giramos regiões em torno de uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual método usar. Como estamos girando em torno de uma reta horizontal (
) e temos funções em termos de
, o método das lavadoras é o mais adequado.
O que é o Método das Lavadoras:
É uma técnica que envolve calcular a diferença entre as áreas de dois discos (um externo e outro interno) para cada fatia do sólido.
É uma técnica que envolve calcular a diferença entre as áreas de dois discos (um externo e outro interno) para cada fatia do sólido.
Passo 3
Vamos determinar os raios externo e interno das lavadoras.
-
Raio Externo (
): Distância da curva superior ( ) até a reta de rotação ( ). -
Raio Interno (
): Como a região é limitada por , o raio interno é zero.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral para o volume usando o método das lavadoras. A fórmula é:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Como a função é par, podemos simplificar:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.