Seja uma função real tal que:
(a)

Passo 1

Beleza, a gente tem uma função real que satisfaz a equação . Nosso objetivo aqui é descobrir quais funções conseguem cumprir essa condição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e propriedades funcionais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na equação dada para simplificar as coisas. Assim, temos:
Isso significa que para todo .

Passo 3

Agora, vamos resolver essa igualdade. Se para algum , podemos dividir ambos os lados por , obtendo:
Então, uma possibilidade é que .

Passo 4

Com essa informação, vamos considerar a forma geral da função . Sabemos que funções que transformam somas em produtos geralmente têm a forma de funções exponenciais. Vamos supor que:
onde é uma constante real.

Passo 5

Vamos verificar se essa suposição satisfaz a equação original. Calculando :
Vemos que a igualdade é verdadeira, então nossa suposição está correta.

Passo 6

Além disso, há uma solução trivial onde a função é constante zero. Se para todo , então:
Isso também satisfaz a equação dada.

Resposta

As funções que satisfazem são:
é

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Verifique que:
a) ;
Determine o conjunto solução de:
© ;
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta , da região limitada por e .
Sabendo que , calcule .
Dica: Escreva , integre em ambos os lados a equação dada acima e resolva para .