Seja
uma função real tal que:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, a gente tem uma função real
que satisfaz a equação
. Nosso objetivo aqui é descobrir quais funções
conseguem cumprir essa condição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e propriedades funcionais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na equação dada para simplificar as coisas. Assim, temos:
Isso significa que
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa igualdade. Se
para algum
, podemos dividir ambos os lados por
, obtendo:
Então, uma possibilidade é que
.
Passo 4
Com essa informação, vamos considerar a forma geral da função
. Sabemos que funções que transformam somas em produtos geralmente têm a forma de funções exponenciais. Vamos supor que:
onde
é uma constante real.
Passo 5
Vamos verificar se essa suposição satisfaz a equação original. Calculando
:
Vemos que a igualdade é verdadeira, então nossa suposição está correta.
Passo 6
Além disso, há uma solução trivial onde a função é constante zero. Se
para todo
, então:
Isso também satisfaz a equação dada.
Resposta
As funções que satisfazem
são:
Exercícios relacionados
Verifique que:
a) ;
a)
Determine o conjunto solução de:
© ;
©
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada por
e
.
Sabendo que
, calcule
.
Dica: Escreva , integre em
ambos os lados a equação dada acima e resolva para
.
Dica: Escreva