Calcule a derivada de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular a derivada da função
. Isso cai dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia várias vezes para lidar com as diferentes camadas dessa função.
Passo 2
Vamos começar identificando nossas funções compostas. A função que temos é uma raiz quadrada de uma função cosseno, que por sua vez tem como argumento uma fração. Então, podemos reescrever a função como:
Essa reescrita nos ajuda a visualizar melhor as camadas de funções que precisamos diferenciar.
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta
, sua derivada é
. Vamos aplicar isso aqui:
Primeiro, consideramos
, então nossa função é
. A derivada de
com relação a
é:
Agora, precisamos multiplicar isso pela derivada de
com relação a
.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada de
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
A derivada de
é
, onde
. Então temos:
Passo 5
Agora, precisamos derivar
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se
, então
. Aqui,
e
.
Primeiro, derivamos
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Agora que temos
, podemos voltar à nossa derivada original:
Simplificando, temos:
Resposta
A derivada de
é: