Calcule a derivada de raiz(cos(7x / ln(x))).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular a derivada da função raiz(cos(7x / ln(x))). Isso cai dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia várias vezes para lidar com as diferentes camadas dessa função.

Passo 2

Vamos começar identificando nossas funções compostas. A função que temos é uma raiz quadrada de uma função cosseno, que por sua vez tem como argumento uma fração. Então, podemos reescrever a função como:
Essa reescrita nos ajuda a visualizar melhor as camadas de funções que precisamos diferenciar.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta f(g(x)), sua derivada é . Vamos aplicar isso aqui:
Primeiro, consideramos , então nossa função é . A derivada de com relação a u é:
Agora, precisamos multiplicar isso pela derivada de u com relação a x.

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
A derivada de é , onde . Então temos:

Passo 5

Agora, precisamos derivar . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se , então . Aqui, e .
Primeiro, derivamos a e b:
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Agora que temos , podemos voltar à nossa derivada original:
Simplificando, temos:

Resposta

A derivada de raiz(cos(7x / ln(x))) é:

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