Sabendo que
, calcule
.
Dica: Escreva
, integre em
ambos os lados a equação dada acima e resolva para
.
Dica: Escreva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma equação envolvendo uma função
e quer que a gente encontre a integral dessa função de
a
. Vamos precisar usar cálculo integral e propriedades de funções, especialmente envolvendo simetria. Vamos seguir a dica e definir
para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que
. Isso vai simplificar a nossa equação. Agora, vamos integrar os dois lados da equação original
no intervalo de
a
.
Passo 3
Integrando o lado esquerdo:
.
Passo 4
Integrando o lado direito:
.
Passo 5
Agora, vamos resolver cada parte do lado direito:
-
: Fazendo a substituição, então e os limites continuam de a . Portanto, . -
: Sabemos que, então .
Passo 6
Substituindo de volta:
Lado direito =
.
Passo 7
Agora, igualamos os dois lados:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
A integral
é igual a 4.
Exercícios relacionados
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada por
e
.
Seja
uma função real tal que:
(a)
(a)
Calcule a derivada de
.
Calcule