Sabendo que , calcule .
Dica: Escreva , integre em ambos os lados a equação dada acima e resolva para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma equação envolvendo uma função e quer que a gente encontre a integral dessa função de a . Vamos precisar usar cálculo integral e propriedades de funções, especialmente envolvendo simetria. Vamos seguir a dica e definir para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que . Isso vai simplificar a nossa equação. Agora, vamos integrar os dois lados da equação original no intervalo de a .

Passo 3

Integrando o lado esquerdo: .

Passo 4

Integrando o lado direito: .

Passo 5

Agora, vamos resolver cada parte do lado direito:
  1. :
    Fazendo a substituição , então e os limites continuam de a . Portanto, .
  2. :
    Sabemos que , então .

Passo 6

Substituindo de volta:
Lado direito = .

Passo 7

Agora, igualamos os dois lados:
.

Passo 8

Resolvendo para :



.

Resposta

A integral é igual a 4.

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Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta , da região limitada por e .
Seja uma função real tal que:
(a)
Calcule a derivada de .
Calcule