Sabendo que 6+f(x)=2 f(-x)+3 x^2(integral-1^1 f(t) d t), calcule integral-1^1 f(t) d t.
Dica: Escreva c=integral-1^1 f(t) d t, integre em [-1,1] ambos os lados a equação dada acima e resolva para c=integral-1^1 f(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma equação envolvendo uma função e quer que a gente encontre a integral dessa função de a . Vamos precisar usar cálculo integral e propriedades de funções, especialmente envolvendo simetria. Vamos seguir a dica e definir para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que . Isso vai simplificar a nossa equação. Agora, vamos integrar os dois lados da equação original no intervalo de a .

Passo 3

Integrando o lado esquerdo: .

Passo 4

Integrando o lado direito: .

Passo 5

Agora, vamos resolver cada parte do lado direito:
  1. :
    Fazendo a substituição , então e os limites continuam de a . Portanto, .
  2. :
    Sabemos que , então .

Passo 6

Substituindo de volta:
Lado direito = .

Passo 7

Agora, igualamos os dois lados:
.

Passo 8

Resolvendo para :



.

Resposta

A integral é igual a 4.

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