( 0,2 pt Calcule a derivada das funções abaixo:
(d) f(x) = (x^2 + x + 1)^25 (x^3 + 5)^15 (1,0 pt)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos calcular a derivada dela. Isso envolve o cálculo de derivadas usando algumas técnicas como a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Vamos usar essas ferramentas para achar a derivada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto. Quando você tem uma função que é o produto de duas funções, como , a derivada é dada por:
Aqui, podemos identificar:
Então, precisamos achar as derivadas de e .

Passo 3

Vamos derivar usando a Regra da Cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é:
Aplicando isso:
Aqui, e sua derivada .

Passo 4

Agora, vamos derivar também usando a Regra da Cadeia:
Aqui, e sua derivada .

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Produto para encontrar a derivada total :
Substituindo , , e :

Resposta

A derivada da função é:

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