Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas: z = 9 - x^2 - y^2 e z = x^2 + y^2;

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o volume dos sólidos que são delimitados pelas superfícies e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de volumes usando integrais múltiplas, e vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar os cálculos, já que as superfícies são simétricas em relação ao eixo z.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde essas duas superfícies se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões para :
Simplificando:
Então, a interseção ocorre quando . Isso nos dá o raio máximo na integração.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nessa coordenadas, . As superfícies ficam:
O volume que queremos calcular está entre essas duas superfícies, então a diferença será a altura da integral.

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é . Assim, a integral fica:
Onde é o raio máximo encontrado no Passo 2.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Calculando nos limites:
Agora, multiplicamos pelo resultado da integral externa:

Resposta

O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies é unidades cúbicas.

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Estude os sinais das seguintes funções::
g) f(x) = e^x / (5 + x)
Determine o valor de x, tal que: 2 sen(x) = raiz(3)
Determine as derivadas das funções abaixo: f(x) = (2x + 3)^(7/5)
Determine as derivadas das funções abaixo: f(x) = raiz(x) * cos(x)