Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
e
;
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o volume dos sólidos que são delimitados pelas superfícies
e
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de volumes usando integrais múltiplas, e vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar os cálculos, já que as superfícies são simétricas em relação ao eixo z.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde essas duas superfícies se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões para
:
Simplificando:
Então, a interseção ocorre quando
. Isso nos dá o raio máximo
na integração.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Nessa coordenadas,
. As superfícies ficam:
O volume que queremos calcular está entre essas duas superfícies, então a diferença
será a altura da integral.
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é
. Assim, a integral fica:
Onde
é o raio máximo encontrado no Passo 2.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Calculando nos limites:
Agora, multiplicamos pelo resultado da integral externa:
Resposta
O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies é
unidades cúbicas.
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Estude os sinais das seguintes funções::
g)
g)
Determine o valor de
, tal que:
Determine as derivadas das funções abaixo:
Determine as derivadas das funções abaixo: