Estude os sinais das seguintes funções::
g) f(x) = e^x / (5 + x)

Passo 1

Vamos analisar o sinal da função . Para isso, vamos estudar o sinal do numerador e do denominador separadamente, já que a divisão de dois termos depende do sinal de cada um deles. Precisamos entender como e se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador . A função exponencial é sempre positiva para qualquer valor de . Ou seja, para todo .

Passo 3

Agora, vamos estudar o denominador . Essa expressão é uma função linear que depende do valor de . Vamos determinar para quais valores de o denominador é positivo e para quais é negativo.

Passo 4

Para encontrar quando é positivo, resolvemos a inequação:
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Portanto, quando , o denominador é positivo.

Passo 5

Para determinar quando é negativo, resolvemos a inequação:
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Assim, quando , o denominador é negativo.

Passo 6

Agora, vamos combinar as informações do numerador e do denominador para determinar o sinal da função :
  • Como sempre, o sinal de dependerá somente do sinal de .
  • Quando , , então .
  • Quando , , então .

Resposta

A função é positiva para todos os valores de maiores que e negativa para todos os valores de menores que .

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