Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
  • : é o plano do chão, basicamente o plano xy.
  • : isso representa um cilindro circular com raio 4, já que .
  • : esse é um plano inclinado que sobe conforme aumenta.
Para resolver, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas cilíndricas, porque a simetria do cilindro facilita esses cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. O cilindro tem raio 4, então em coordenadas cilíndricas, varia de 0 a 4 e o ângulo varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.

Passo 3

O limite inferior para é o plano (chão) e o limite superior é o plano inclinado . Precisamos expressar em coordenadas cilíndricas. Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:

Aqui, é o elemento de área em coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :

Essa integral se separa em:
Sabemos que:

Então:

Resposta

O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas é .

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Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes: