Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
-
: é o plano do chão, basicamente o plano xy. -
: isso representa um cilindro circular com raio 4, já que . -
: esse é um plano inclinado que sobe conforme aumenta.
Para resolver, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas cilíndricas, porque a simetria do cilindro facilita esses cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. O cilindro
tem raio 4, então em coordenadas cilíndricas,
varia de 0 a 4 e o ângulo
varia de 0 a
para cobrir toda a circunferência.
Passo 3
O limite inferior para
é o plano
(chão) e o limite superior é o plano inclinado
. Precisamos expressar
em coordenadas cilíndricas. Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume
é dado por:
Aqui,
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Essa integral se separa em:
Sabemos que:
Então:
Resposta
O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas é
.
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Utilizando coordenadas polares calcule:
Uma lâmina tem a forma da região plana
delimitada pelas curvas
. Sua densidade de massa é constante. Determinar:
o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos y. constante,
o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos y.
Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes: