Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
integral0^2 integral-y^y(x y^2+x) d x d y 18

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos a região de integração e calcular a integral iterada:
integral0^2 integral-y^y(x y^2+x) , dx , dy
Estamos lidando com cálculo de múltiplas integrais, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a região de integração e aplicar as técnicas de integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida com y variando de 0 a 2, e para cada valor de y, x varia de -y a y. Isso significa que, para cada y, x vai de um valor negativo até o positivo correspondente.

Passo 3

Vamos esboçar essa região no plano xy. Quando y = 0, x varia de 0 a 0, ou seja, um único ponto. À medida que y aumenta, a faixa de x se alarga de -y a y. Quando y = 2, x varia de -2 a 2. Isso forma um triângulo simétrico em relação ao eixo y, com base no intervalo y in [0, 2] e x in [-y, y].

Passo 4

Agora que entendemos a região, vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integral-y^y (x y^2 + x) , dx
Podemos fatorar x da expressão:
integral-y^y x(y^2 + 1) , dx
Como y é constante em relação a x, podemos tirar (y^2 + 1) da integral:
(y^2 + 1) integral-y^y x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral-y^y x , dx. A integral de x em relação a x é:
12x^2 |-y^y = 12y^2 - 12(-y)^2 = 12y^2 - 12y^2 = 0
Então, a integral interna resulta em zero.

Passo 6

Voltando à integral dupla, temos:
(y^2 + 1) cdot 0 = 0
Portanto, a integral interna é zero para qualquer y no intervalo de 0 a 2.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral externa:
integral0^2 0 , dy = 0
Integrar zero em qualquer intervalo resulta em zero.

Resposta

A integral iterada vale 0.

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