Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos a região de integração e calcular a integral iterada:
Estamos lidando com cálculo de múltiplas integrais, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a região de integração e aplicar as técnicas de integração iterada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida com variando de a , e para cada valor de , varia de a . Isso significa que, para cada , vai de um valor negativo até o positivo correspondente.
Passo 3
Vamos esboçar essa região no plano . Quando , varia de a , ou seja, um único ponto. À medida que aumenta, a faixa de se alarga de a . Quando , varia de a . Isso forma um triângulo simétrico em relação ao eixo , com base no intervalo e .
Passo 4
Agora que entendemos a região, vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
Podemos fatorar da expressão:
Como é constante em relação a , podemos tirar da integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral . A integral de em relação a é:
Então, a integral interna resulta em zero.
Passo 6
Voltando à integral dupla, temos:
Portanto, a integral interna é zero para qualquer no intervalo de a .
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral externa:
Integrar zero em qualquer intervalo resulta em zero.