Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos a região de integração e calcular a integral iterada:
Estamos lidando com cálculo de múltiplas integrais, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a região de integração e aplicar as técnicas de integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida com variando de a , e para cada valor de , varia de a . Isso significa que, para cada , vai de um valor negativo até o positivo correspondente.

Passo 3

Vamos esboçar essa região no plano . Quando , varia de a , ou seja, um único ponto. À medida que aumenta, a faixa de se alarga de a . Quando , varia de a . Isso forma um triângulo simétrico em relação ao eixo , com base no intervalo e .

Passo 4

Agora que entendemos a região, vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
Podemos fatorar da expressão:
Como é constante em relação a , podemos tirar da integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . A integral de em relação a é:
Então, a integral interna resulta em zero.

Passo 6

Voltando à integral dupla, temos:
Portanto, a integral interna é zero para qualquer no intervalo de a .

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral externa:
Integrar zero em qualquer intervalo resulta em zero.

Resposta

A integral iterada vale .

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Uma lâmina tem a forma da região plana delimitada pelas curvas . Sua densidade de massa é constante. Determinar:
o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos y. constante,
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.
Calcule a integral dupla.
, em que é a região delimitada por e
A equação representa uma circunferência centrada na origem e de raio . A curva descrita pela equação não representa, portanto, o gráfico de uma função. Entretanto, quando consideramos , obtemos a função e, quando restringimos , temos a função Generalizando o raciocínio acima, explicite a função , cujo gráfico é exibido abaixo: