Uma lâmina tem a forma da região plana
delimitada pelas curvas
. Sua densidade de massa é constante. Determinar:
o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos y.
constante,
o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos y.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá pedindo. Temos uma lâmina com uma forma definida pela região das curvas
e
. A densidade dessa lâmina é constante, ou seja, é a mesma em todos os pontos. O que queremos encontrar é o momento de inércia dessa lâmina em relação ao eixo dos
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais para calcular o momento de inércia em função das coordenadas da região. Vamos também usar o fato de que a densidade é constante, o que simplifica um pouco as coisas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
delimitada pelas curvas
e
. A curva
é uma parábola que abre para a direita, e
é uma linha vertical. Para encontrar os limites de
, igualamos as duas equações:
Então,
varia de
a
.
Passo 3
O momento de inércia em relação ao eixo dos
é dado pela fórmula:
Como a densidade é constante (
), podemos expressar
como:
Então, substituindo na fórmula do momento de inércia:
Passo 4
Vamos expressar a integral em coordenadas
. Para cada valor de
entre
e
,
varia de
até
. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Substituindo na integral principal:
Passo 7
Vamos separar as integrais:
Integrando cada termo:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
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Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.
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Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
Calcule a integral dupla.
, em que
é a região delimitada por
e