Uma lâmina tem a forma da região plana delimitada pelas curvas . Sua densidade de massa é constante. Determinar:
o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos y. constante,

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá pedindo. Temos uma lâmina com uma forma definida pela região das curvas e . A densidade dessa lâmina é constante, ou seja, é a mesma em todos os pontos. O que queremos encontrar é o momento de inércia dessa lâmina em relação ao eixo dos .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais para calcular o momento de inércia em função das coordenadas da região. Vamos também usar o fato de que a densidade é constante, o que simplifica um pouco as coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região delimitada pelas curvas e . A curva é uma parábola que abre para a direita, e é uma linha vertical. Para encontrar os limites de , igualamos as duas equações:
Então, varia de a .

Passo 3

O momento de inércia em relação ao eixo dos é dado pela fórmula:
Como a densidade é constante ( ), podemos expressar como:
Então, substituindo na fórmula do momento de inércia:

Passo 4

Vamos expressar a integral em coordenadas . Para cada valor de entre e , varia de até . Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 6

Substituindo na integral principal:

Passo 7

Vamos separar as integrais:
Integrando cada termo:

Passo 8

Substituindo de volta:

Resposta

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Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.
Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
Calcule a integral dupla.
, em que é a região delimitada por e