Calcule a integral dupla da função f(x, y) = ln(x^2 + y^2) + 1 na região
B: 1 <= x^2 + y^2 <= e.
Resposta:
8,53973

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral dupla da função na região onde . Vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais duplas, especificamente mudando para coordenadas polares porque a região é um anel circular. Precisamos conhecer as fórmulas de conversão para coordenadas polares e entender como integrar nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares. Lembra que em coordenadas polares, e . Além disso, a área diferencial em coordenadas polares é . A função fica .

Passo 3

A região em coordenadas polares fica , o que significa que . E varia de a para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:

Passo 5

Vamos primeiro resolver a integral em :
A primeira parte, , utiliza integração por partes, e a segunda parte é simples de integrar.

Passo 6

Resolvendo :
Seja , então .
Seja , então .
Aplicando integração por partes:

Passo 7

Resolvendo a segunda parte, .

Passo 8

Agora, juntando tudo:

Passo 9

Agora, integramos em :
Calculando o valor numérico:

Resposta

8,53973

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