Calcule a integral dupla da função
na região
.
Resposta:
8,53973
Resposta:
8,53973
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral dupla da função
na região
onde
. Vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais duplas, especificamente mudando para coordenadas polares porque a região é um anel circular. Precisamos conhecer as fórmulas de conversão para coordenadas polares e entender como integrar nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares. Lembra que em coordenadas polares,
e
. Além disso, a área diferencial
em coordenadas polares é
. A função
fica
.
Passo 3
A região
em coordenadas polares fica
, o que significa que
. E
varia de
a
para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos primeiro resolver a integral em
:
A primeira parte,
, utiliza integração por partes, e a segunda parte é simples de integrar.
Passo 6
Resolvendo
:
Seja , então
.
Seja , então
.
Aplicando integração por partes:
Seja
Seja
Aplicando integração por partes:
Passo 7
Resolvendo a segunda parte,
.
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Passo 9
Agora, integramos em
:
Calculando o valor numérico:
Resposta
8,53973
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na região
e
.
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na região
, sendo
a região do primeiro quadrante que está delimitada pelas hipérboles
e pelas retas
e
.
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, sendo
os pontos internos à esfera
e exteriores ao cilindro
.
Resposta:
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Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.