Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. Abaixo do paraboloide z=3 x^2+y^2 e acima da região delimitada por y=x e x=y^2-y

Passo 1

Vamos calcular o volume do sólido que está abaixo do paraboloide e acima da região delimitada pelas curvas e .
Conteúdo da matéria: Para resolver esse tipo de problema, vamos usar o método de integrais duplas em coordenadas cartesianas. Precisamos identificar a região de integração no plano e depois integrar a função que representa a altura do paraboloide sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região y = x e x = y^2 - y no plano x = y^2 - y Rightarrow y = y^2 - y Rightarrow y^2 - 2y = 0 Rightarrow y(y - 2) = 0 delimitada pelas curvas e .
Teoria aplicada: Para encontrar a área de integração, devemos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas resolvendo o sistema de equações:
Substituindo na segunda equação:
Logo, as soluções são e . Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Vamos expressar em funç��o de .
Teoria aplicada: Para cada valor de entre 0 e 2, varia de até .

Passo 4

A função que representa a altura do paraboloide é V = integraly=0^2 integralx=y^2 - y^y (3x^2 + y^2) , dx , dy . Vamos configurar a integral dupla para calcular o volume :

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integralx=y^2 - y^y (3x^2 + y^2) , dx = [ x^3 + y^2x ]x=y^2 - y^y :
= ( y^3 + y^3 ) - ( (y^2 - y)^3 + y^2(y^2 - y) )
Substituindo os limites:
= 2y^3 - ( (y^2 - y)^3 + y^4 - y^3 )
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos expandir (y^2 - y)^3 = y^6 - 3y^5 + 3y^4 - y^3 :
2y^3 - (y^6 - 3y^5 + 3y^4 - y^3 + y^4 - y^3) = 2y^3 - y^6 + 3y^5 - 4y^4 + 2y^3
Substituindo de volta na expressão anterior:
= -y^6 + 3y^5 - 4y^4 + 4y^3
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a V = integral0^2 (-y^6 + 3y^5 - 4y^4 + 4y^3) , dy de 0 a 2:
V = [ -y^77 + 3y^66 - 4y^55 + 4y^44 ]0^2
Integrando termo a termo:
V = [ -y^77 + y^62 - 4y^55 + y^4 ]0^2
Simplificando os coeficientes:

Passo 8

Substituindo V = -2^77 + 2^62 - 4 cdot 2^55 + 2^4 :
= -1287 + 642 - 1285 + 16
Calculando as potências:
= -1287 + 32 - 1285 + 16
Simplificando:
= -128 cdot 535 + 32 cdot 3535 - 128 cdot 735 + 16 cdot 3535
Convertendo todos para frações com denominador 35:
= -64035 + 112035 - 89635 + 56035
= -640 + 1120 - 896 + 56035 = 14435

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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