Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. Abaixo do paraboloide
e acima da região delimitada por
Passo 1
Vamos calcular o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
e acima da região delimitada pelas curvas
e
.
Conteúdo da matéria: Para resolver esse tipo de problema, vamos usar o método de integrais duplas em coordenadas cartesianas. Precisamos identificar a região de integração no plano
e depois integrar a função que representa a altura do paraboloide sobre essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
no plano
delimitada pelas curvas
e
.
Teoria aplicada: Para encontrar a área de integração, devemos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas resolvendo o sistema de equações:
Substituindo
na segunda equação:
Logo, as soluções são
e
. Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Vamos expressar
em fun�o de
.
Teoria aplicada: Para cada valor de
entre 0 e 2,
varia de
até
.
Passo 4
A função que representa a altura do paraboloide é
. Vamos configurar a integral dupla para calcular o volume
:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos expandir
:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 2:
Integrando termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
Passo 8
Substituindo
:
Calculando as potências:
Simplificando:
Convertendo todos para frações com denominador 35:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Determinar os pontos críticos da função, classificando-os, quando possível.
Determinar os pontos críticos das funções:
Considere 3 cargas pontuais distribuídas no plano
em (
);
; e q
47 nC em
. O potencial no ponto
) será dado por: (observe que as cargas e o ponto
formam um quadrado de lado
)
Determinar os pontos críticos das funções: