Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. Abaixo do paraboloide e acima da região delimitada por

Passo 1

Vamos calcular o volume do sólido que está abaixo do paraboloide e acima da região delimitada pelas curvas e .
Conteúdo da matéria: Para resolver esse tipo de problema, vamos usar o método de integrais duplas em coordenadas cartesianas. Precisamos identificar a região de integração no plano e depois integrar a função que representa a altura do paraboloide sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região no plano delimitada pelas curvas e .
Teoria aplicada: Para encontrar a área de integração, devemos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas resolvendo o sistema de equações:
Substituindo na segunda equação:
Logo, as soluções são e . Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Vamos expressar em funç��o de .
Teoria aplicada: Para cada valor de entre 0 e 2, varia de até .

Passo 4

A função que representa a altura do paraboloide é . Vamos configurar a integral dupla para calcular o volume :

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos expandir :
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 2:
Integrando termo a termo:
Simplificando os coeficientes:

Passo 8

Substituindo :
Calculando as potências:
Simplificando:
Convertendo todos para frações com denominador 35:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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