Determinar os pontos críticos das funções: z=2 y^3-3 x^4-6 x^2 y+5

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Precisaremos calcular as derivadas parciais da função em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante para encontrar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = ddx(2y^3) - ddx(3x^4) - ddx(6x^2y) + ddx(5) em relação a partial zpartial x = 0 - 12x^3 - 12xy + 0 = -12x^3 - 12xy :
Como é tratado como constante ao derivar em relação a :

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada parcial de partial zpartial y = ddy(2y^3) - ddy(3x^4) - ddy(6x^2y) + ddy(5) em relação a partial zpartial y = 6y^2 - 0 - 6x^2 + 0 = 6y^2 - 6x^2 :
Aqui, é tratado como constante:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações:
-12x^3 - 12xy = 0 6y^2 - 6x^2 = 0
Vamos simplificar a segunda equação:
6y^2 - 6x^2 = 0 Rightarrow y^2 = x^2 Rightarrow y = x ou y = -x

Passo 5

Vamos considerar os dois casos:
Caso 1: -12x^3 - 12x(x) = -12x^3 - 12x^2 = 0
Substituindo na primeira equação:
-12x^2(x + 1) = 0 Rightarrow x = 0 ou x = -1
Fatorando:
-12x^3 - 12x(-x) = -12x^3 + 12x^2 = 0
Então, temos:
  • Se 12x^2(-x + 1) = 0 Rightarrow x = 0 ou x = 1 , então
  • Se , então
Caso 2:
Substituindo na primeira equação:
Fatorando:
Então, temos:
  • Se , então
  • Se , então

Resposta

Os pontos críticos da função são:

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