Determinar os pontos críticos da função, classificando-os, quando possível. z=xx^2+y^2+4

Passo 1

Beleza! Temos a função e precisamos encontrar os pontos críticos dela, além de classificá-los quando der. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = (x^2 + y^2 + 4)(1) - x(2x)(x^2 + y^2 + 4)^2 = y^2 + 4 - x^2(x^2 + y^2 + 4)^2 em relação a partial zpartial y = 0 cdot (x^2 + y^2 + 4) - x(2y)(x^2 + y^2 + 4)^2 = -2xy(x^2 + y^2 + 4)^2 e a . Essas derivadas vão nos mostrar como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos igualar essas derivadas parciais a zero e resolver o sistema de equações resultante.
Então, temos:
partial zpartial x = y^2 + 4 - x^2(x^2 + y^2 + 4)^2 = 0
partial zpartial y = -2xy(x^2 + y^2 + 4)^2 = 0
Como o denominador nunca é zero (pois para todo e ), podemos focar apenas no numerador:
  1. \
A segunda equação nos dá duas possibilidades: ou .
Vamos analisar cada caso:
  • Caso 1:
    Substituindo na primeira equação:
    O que resulta em , o que não tem solução real. Portanto, não há ponto crítico neste caso.
  • Caso 2:
    Substituindo na primeira equação:
    Então,
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas:
partial^2 zpartial x^2 = -2x(y^2 + 4 + x^2) cdot 2(x^2 + y^2 + 4)^3 + -2x(x^2 + y^2 + 4)^2 = (comp<=xa, mas essencialmente negativa)
partial^2 zpartial y^2 = -2x cdot 2y cdot (x^2 + y^2 + 4)^2 - (-2xy) cdot 2(2y)(x^2 + y^2 + 4)^4 = (também negativa) é
partial^2 zpartial x partial y = partialpartial y(y^2 + 4 - x^2(x^2 + y^2 + 4)^2) = (muito próxima de zero) ó
Calculando o determinante da matriz hessiana:
D = partial^2 zpartial x^2 cdot partial^2 zpartial y^2 - (partial^2 zpartial x partial y)^2
Se e , o ponto é um máximo local.
Aplicando isso aos nossos pontos:
Ambos os pontos e têm e , indicando que são máximos locais.

Resposta

Os pontos críticos da função são e , e ambos são máximos locais.

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