Determinar os pontos críticos da função, classificando-os, quando possível.
Passo 1
Beleza! Temos a função
e precisamos encontrar os pontos críticos dela, além de classificá-los quando der. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Essas derivadas vão nos mostrar como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos igualar essas derivadas parciais a zero e resolver o sistema de equações resultante.
Então, temos:
Como o denominador nunca é zero (pois
para todo
e
), podemos focar apenas no numerador:
-
\
-
A segunda equação nos dá duas possibilidades:
ou
.
Vamos analisar cada caso:
-
Caso 1:
Substituindo na primeira equação:
O que resulta em, o que não tem solução real. Portanto, não há ponto crítico neste caso. -
Caso 2:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas:
Calculando o determinante da matriz hessiana:
Se
e
, o ponto é um máximo local.
Aplicando isso aos nossos pontos:
Ambos os pontos
e
têm
e
, indicando que são máximos locais.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
, e ambos são máximos locais.
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Determinar os pontos críticos das funções:
Encontrar o vetor intensidade elétrica
a partir da função potencial
no ponto
.
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. Abaixo do paraboloide
e acima da região delimitada por
Considere 3 cargas pontuais distribuídas no plano
em (
);
; e q
47 nC em
. O potencial no ponto
) será dado por: (observe que as cargas e o ponto
formam um quadrado de lado
)