Determinar os pontos críticos das funções: z=e^x-y(y^2-2 x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente quando a gente quer saber onde a função tem possíveis máximos, mínimos ou pontos de sela. Pra isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e e ver onde elas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = e^x - y (y^2 - 2x^2) + e^x - y (-4x) = e^x - y (y^2 - 2x^2 - 4x) em relação a , que é . Usamos a regra do produto e a derivada da exponencial:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = -e^x - y (y^2 - 2x^2) + e^x - y (2y) = e^x - y (-y^2 + 2x^2 + 2y) em relação a , que é . Também aplicamos a regra do produto e a derivada da exponencial:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos igualar essas derivadas a zero:
e^x - y (y^2 - 2x^2 - 4x) = 0
e^x - y (-y^2 + 2x^2 + 2y) = 0
Como y^2 - 2x^2 - 4x = 0 (1) nunca é zero, podemos simplificar:
- y^2 + 2x^2 + 2y = 0 (2)

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2). Somando as duas equações:
(y^2 - 2x^2 - 4x) + (- y^2 + 2x^2 + 2y) = 0 Rightarrow -4x + 2y = 0
Simplificando:
2y = 4x Rightarrow y = 2x

Passo 6

Substituindo (2x)^2 - 2x^2 - 4x = 0 Rightarrow 4x^2 - 2x^2 - 4x = 0 Rightarrow 2x^2 - 4x = 0 na equação (1):
2x(x - 2) = 0
Fatorando:
Então, ou .

Passo 7

Agora, encontramos os valores de :
  • Se , então .
  • Se , então .

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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