Determinar os pontos críticos das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente quando a gente quer saber onde a função tem possíveis máximos, mínimos ou pontos de sela. Pra isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e e ver onde elas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Usamos a regra do produto e a derivada da exponencial:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Também aplicamos a regra do produto e a derivada da exponencial:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos igualar essas derivadas a zero:
Como nunca é zero, podemos simplificar:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2). Somando as duas equações:
Simplificando:

Passo 6

Substituindo na equação (1):
Fatorando:
Então, ou .

Passo 7

Agora, encontramos os valores de :
  • Se , então .
  • Se , então .

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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