Determinar os pontos críticos das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente quando a gente quer saber onde a função tem possíveis máximos, mínimos ou pontos de sela. Pra isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
e ver onde elas são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Usamos a regra do produto e a derivada da exponencial:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Também aplicamos a regra do produto e a derivada da exponencial:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos igualar essas derivadas a zero:
Como
nunca é zero, podemos simplificar:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2). Somando as duas equações:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo
na equação (1):
Fatorando:
Então,
ou
.
Passo 7
Agora, encontramos os valores de
:
- Se
, então . - Se
, então .
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
.